Innostuin näistä geometrisista kuvioista, kun näin niitä georgialaisen Pridon Davlianidzen postauksissa Facebookin Geomath-ryhmässä. Hän on julkaissut suuren määrän matemaattisia taideteoksia. Ne perustuvat symmetrisiin kuvioihin, jotka tuotetaan säännöllisistä monikulmioista.
Luon pisteet A ja B. Niiden avulla muodostan säännöllisen viisikulmion BACDE, GeoGebrassa valitaan säännöllinen monikulmiotyökalu ja valitaan pisteet B ja A tässä järjestyksessä. Seuraavaksi käytän pisteitä D ja C ja luon niiden avulla säännöllisen viisikulmion DCFGH. Jatkan laatoitusta samalla tapaa 10 viisikulmion saakka. Syntyy kuvio, jota kutsun nimellä säännöllinen monikulmioympyrä. Jos joku keksii tällaisille olioille fiksumman nimen, niin kertokoon minulle.
Toki kolmioilla ja neliöilläkin saa aikaan säännölliset monikulmioympyrät, mutta niiden sisään ei muodostu ”reikää”.
Säännöllisillä 6-kulmioilla saadaan kaksi monikulmioympyrää.
Säännöllisillä 7-kulmioilla saadaan tällä menetelmällä yksi ympyrä, jossa on 14 säännöllistä 7-kulmiota.
Tehtäviä
Tässä vaiheessa herää joitakin kysymyksiä.
Tehtävä 1. Voiko kaikilla säännöllisillä n-kulmioilla tuottaa säännöllisiä monikulmioympyröitä?
Tehtävä 2. Millä n:n arvoilla saadaan aikaiseksi erilaisia säännöllisiä monikulmioympyröitä, esimerkiksi kun n = 6 voidaan tehdä kaksi erilaista monikulmioympyrää, mutta kun n on 3, 4, 5 tai 7, niin vain yksi.
Tehtävä 3. Mitä jos käytetään kahta erilaista säännöllistä monikulmiota, kuten kuvassa. Voiko kaikilla sellaisilla laatoilla, jotka on luotu kahdesta säännöllisestä monitahokkaasta luoda ympyrän?
Tehtävä 4. Todista, että
käyttämättä apuna CAS-laskimia. Tee sama myös kosinille.
tarkempi määrittely ongelmalle
Merkitään monikulmiot siten, että niiden luomisen järjestysluku laitetaan yläindeksiin, esimerkiksi kolmas monikulmio on A3. Vastaavasti monikulmion pisteet numeroidaan alaindekseihin.
Todistettava lause Olkoon
säännöllinen n-kulmio. Luodaan uusi säännöllinen monikulmio
Jatketaan näin eli uusi säännöllinen monikulmio koostuu pisteistä
Tällöin jokaista lukua n (>2) vastaa ainakin yksi luku m ≤ (n+1)/2 siten, että kun laatoitusta jatketaan r kertaa , niin monikulmiot muodostavat suljetun ”ympyrän”. Monikulmioilla ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin yhteiset sivut. Tällöin
eli
Esimerkiksi kun n = 5, niin m = 3 ja r = 10.
Olipa haastavaa kirjoittaa tuo yleinen lause, saisikohan sen jotenkin fiksummin ilmaistua?
Tuotin osan kuvista GeoGebralla ja loput Pythonin kilpikonnagrafiikalla. Julkaisen koodini lähipäivinä, kunhan olen siivonnut koodini.
Etelä-Suomen hiihtoloman ja laskiaisen ajanvietteeksi sopii seuraava liukumiseen liittyvä ongelma. Tämä sopii hyvin hernekeiton ja laskiaispullan sulatteluun. Mikä on nopein reitti liukua pisteestä toiseen, jos liukumäen profiili on muotoa y = xn, missä n saa arvoja 1, 2, … ?
Idea tähän tehtävään löytyi jostain somejulkaisusta, jonka unohdin tallentaa. Tehtävä jäi vaivaamaan mieltäni ja niinpä pienen Googletuksen avulla pystyin luomaan mallit, joilla laskea liukuajat numeerisen integroinnin avulla. Tämän ongelman mäki on kooltaa aika pieni. Jos et mahdu itse laskemaan siihen, niin kuvittele olevasi pienempi.
Tehtävä 1. Liu’utaan kitkatta pisteestä (1 m, 1 m) pisteeseen (0 m, 0 m) ja muitakaan vastustavia voimia ei ole kiusaamassa laskentoamme. Mikä on nopein reitti, jos reitti on muodoltaan on funktio f(x) = xn, missä n on positiivinen luonnollinen luku. Tietysti lasku tapahtuu Maan pinnalla, paikassa jossa putoamiskiihtyvyys on 9.8100 m/s2.
Tehtävä 2. Kummalla reitillä liukuaika on lyhyempi, mennään pisteestä (1 m, 1 m) paraabelin y = x2 kaarella origoon vai kun liu’utaan origosta pisteeseen (1 m, -1m) neliöjuurikäyrää y = -x1/2?
Tehtävä 3. Jos lasketaan mäkeä origosta pisteeseen (1 m, -1 m) ja tutkitaan funktioita -xn, n on positiivinen reaaliluku, niin millä n:n arvolla liukuaika on lyhin? Ja taas mennään ilman kitkaa ja ilmanvastusta.
Tarinan lopussa on pari linkkiä, joiden avulla laskin numeeriset integraalini.
Pienimmäksi liukuajaksi potenssifunktiolla xm sain Pythonin Scipyllä (0.59428023847 ± 1.3e-10) s. Jätän lukijan tutkittavaksi, mikä tuon m:n arvo on. (GeoGebran numeerinen integraatio antoi tulokseksi 0.5942801888918.)
Tietysti tarkistuksen vuoksi piti laskea myös muilla käyrillä. Sykloidilla sain GeoGebran numeerisella integroinnilla tulokseksi 0.5828954631542 s. Pythonin Scipy.integrate-kirjaston numeerisen integraalin laskeva quad-funktio tuotti arvoksi ja virheeksi (0.5828954631542245 ± 2 e-14) s. Wolfram Alphalla sain tulokseksi 0.587563 s.
Ympyrän (säde = 1 m) kaarella ajaksi tuli 0.5919604868957612 s.
Laitan omien laskujeni tulokset ja koodit näytille lähipäivinä.
Yhdistin Ylioppilastutkintolautakunnan julkaisemat kevään ja syksyn 2022 ylioppilastulostiedostot. Näin sain tietoa kaikista vuoden 2022 ylioppilaista. Piirtelin jakaumakuvaajia aika monesta suositusta (N > 1000) aineesta, jakaumissa näkyy poikien ja tyttöjen tulokset erikseen.
Suurimman osan laskennasta ja kuvaajien piirrosta tein Google Sheetsin Pivot-toiminnalla, osan tilastomatikasta ja joitakin tarkistuksia GeoGebran Yhden muuttujan analyysillä ja Todennäköisyyslaskurilla. Tein myös tarkistuksen vuoksi taulukon eri aineiden keskiarvoista yms. Pythonilla.
pientä pohdiskelua
Minusta näistä kuvaajista ja taulukoista näkyy selvästi, että ylioppilaskokeessa tytöt menestyvät merkittävästi paremmin kuin pojat. Hyvin monessa aineessa tyttöjen yo-arvosanakeskiarvo on parempi kuin poikien. Esimerkiksi äidinkielessä keskiarvojen erotus on noin 0.7 arvosanaa, terveystiedossa 0,8, psykologiassa 0.6 arvosanaa parempi kuin pojilla. Sellaisia paljon kirjoitettuja aineita (N > 5000) joissa poikien tulos on tilastollisesti merkitsevästi (P arvo < 0.001) suurempi kuin tytöillä ovat: pitkä englanti sekä pitkä ja lyhyt matematiikka.
Joku voisi miettiä, onko tämä ongelma vai vaan hyvä juttu. Pitääkö nuorten muuttua tai koulun? Vai pitääkö sen muuttua mitä arvioidaan ja miten?
vuoden 2022 ylioppilaat
Yhteensä vuonna 2022 saimme 29378 ylioppilasta. Puoltoäänien keskiarvo oli 23.51, mediaani 22, keskihajonta 8.26. Kirjoitettujen aineiden lukumäärän keskiarvo oli 5.4.
Keväällä valmistuneita oli 24911 ja syksyllä 4467, yhteensä 29378.
Poikia (sininen) oli 11990 (40.8 %), puoltoäänien keskiarvo 22.4 ja keskihajonta 7.83. Kirjoitettujen aineiden lukumäärän keskiarvo oli pojilla 5.3.
Tyttöjä (punainen) oli 17388 (59,2%), puoltoäänien keskiarvo 24.3, keskihajonta 8,45. Kirjoitettujen aineiden lukumäärän keskiarvo oli tytöillä 5.5.
Seuraavassa taulukossa näkyy eri aineiden kirjoittajien lukumäärät suuruusjärjestyksessä. Enpä ollut ennen tajunnut, että pitkää englantia kirjoitetaan enemmän kuin äidinkieltä. Kaikkea sitä oppii, kun laskee. Taulukon koodien tulkinta löytyy tämän artikkelin lopusta.
aine
kirjoittajia
aine
kirjoittajia
aine
kirjoittajia
EA
27212
FF
1675
PA
63
A
26047
SC
1219
UO
26
N
13276
A5
1204
L1
21
M
13085
CA
1162
O5
15
BB
9378
EC
1134
Z
12
BI
8897
BA
878
GC
9
PS
7801
PC
641
L7
3
FY
7572
CB
617
DC
2
YH
7225
FC
566
I
1
HI
6523
VA
428
W
0
TE
6325
SA
405
Q
0
KE
6178
VC
335
IC
0
GE
3627
ET
296
QC
0
UE
2823
FA
247
O
2061
TC
77
Poikien ja tyttöjen lukumäärät, keskiarvot ja keskihajonnat aineittain
Rivi yht on puoltoäänien määrä ja lkm kirjoitettujen aineiden lukumäärä. NaN tarkoittaa, että keskiarvoa tai keskihajontaa ei voi laskea, koska kirjoittajia on liian vähän.
Alla edellisen taulukon tyttöjen keskiarvon ja poikien keskiarvon erotus.
äidinkieli
Kaikissa kuvaajissa tästä eteenpäin sininen viittaa poikiin/miehiin ja punainen tyttöihin/naisiin. Arvosanoissa 0 vastaa arvosanaa improbatur, 2 arvosanaa approbatur, … ja 7 arvosanaa laudatur.
Äidinkieli, suomi – A
Katsotaan kolmea ylintä arvosanaa M, E ja L. Voisi ajatella, että noilla arvosanoilla on suhteellisen helppo tuottaa yliopistoissa vaadittavia kirjoituksia. Tytöillä näitä arvosanoja on 7080 ja pojilla 2755 eli tyttöjen määrä on yli kaksi ja puoli kertainen verrattuna poikien lukumäärään. Saman tyyppinen ero näkyy myös S2:n ja Äidinkieli ruotsin arvosanoissa.
Suomi toisena kielenä, S2 – A5
Äidinkieli, ruotsi – O
matematiikka
Matikoissa poikien keskiarvot ovat pikkaisen parempia kuin tytöillä.
Pitkä matematiikka – M
Lyhyt matematiikka – N
reaaliaineet
Fysiikka – FY
Kemia – KE
Biologia – BI
Maantiede – GE
Psykologia – PS
Historia – HI
Yhteiskuntaoppi – YH
Evankelis-luterilainen uskonto – UE
Terveystieto – TE
Tyttöjen keskiarvo on 0.83 suurempi kuin poikien. Tämä on suurin näissä kuvaajissa.
Filosofia – FF
Kielet
Ruotsi pitkä – BA
Ruotsi keskipitkä – BB
Englanti pitkä – EA
Pitkässä englannissa poikien keskiarvo on 0.4 suurempi kuin tyttöjen, tämä on ainoa aine, jossa poikien keskiarvo on reilusti suurempi kuin tyttöjen.
Mikon fysiikka ja matikka 