Artikkelit

Posted on

Esitys Washington Statessa

Käväisin Seattlen nurkilla Finn Con konfernssissa. Paikalliset Suomi-fanit ovat järjestäneet koulutustilaisuuden jonka avulla he pyrkivät muuttamaan opetusta/järjestelmää täällä päin.

Minun pieni tarinani.

http://prezi.com/clulu9hejhtg/?utm_campaign=share&utm_medium=copy

Lopullinen raportti löytyy matkapäiväkirjasta.

Mikko

Advertisement
Posted on

Chennai GeoGebra workshop

It was fun to have my talk with Google Hangouts. I hope the audience liked it.

1 st Workshop Homework

  1. Create a pentagram on a circle. Calculate the sum of the angles B, …, F. Make a theorem and prove it.
  2. Create a pentagram,where the points are not on a circle. Calculate the sum on angles G, …, K. Make a theorem and prove it.
  3. Make an application with lines that you could use in your lesson.
  4. Make an application with functions that you could use in your lesson.
  5. Go to http://www.geogebratube.org and find one interesting GeoGebra material. If you dare, comment this blog and tell the name of the material and why you liked it. Don’t use your real name when you comment, use a nick. Enter your real email address, only I can see it.

I will add the links to my examples here some day. If you have questions, please ask by commenting this blog post.

2nd Workshop Homework

Please look at my examples at http://www.geogebratube.org/student/b111935

  1. Create an app with sliders a, b and c to show what happens in a 2nd degree polynomial when the parameters are changed.
  2. Make an app that uses dynamical text and teaches something about the zeros of a 2nd degree polynomial.
  3. Make an app that plots a function of form (x-a)(x-b)(x-c)… using sliders. Add some dynamical text to it.
  4. Make an app that teaches derivatives.
  5. Make an app that teaches what happens to the value of the average and standard deviation if we add or multiply the original the numbers.
  6. Publish at least one of your own material on GeoGebraTube, use File -> Share.

If you have questions, please ask by commenting this blog post.

Posted on

Kokeellista matematiikkaa SAGE:lla -tarina

Kirjoitin tarinan leikistäni lukujen maailmassa.

Jutun pdf-versio löytyy täältä mikonfunktio3 ja juttuun liittyvä SAGE-tiedosto on oheisen linkin takana.

Lyhyt tiivistelmä

Valitaan jokin luonnollinen luku > 2. Jaetaan se tekijöihin ja lasketaan tekijöiden summa. Jatketaan samalla tavalla kunnes sama luku alkaa toistua tai kun päädytään alkulukuun.

Esimerkiksi:
42 = 2*3*7
2 + 3 + 7 = 12
12 = 2*2*3
2+2+3 = 7

Määritellään funktio mr(x) siten että sen arvo on edellä kuvatun iteroinnin lopputulos. Alla muutamia arvoja muodossa (x, mr(x)).

[(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 5), (7, 7), (8, 5), (9, 5), (10,7), (11, 11), (12, 7), (13, 13), (14, 5), (15, 5), (16, 5), (17, 17),(18, 5), (19, 19), (20, 5), (21, 7), (22, 13), (23, 23), (24, 5), (25, 7), (26, 5), (27, 5), (28, 11), (29, 29), (30, 7), (31, 31), (32, 7), (33, 5), (34, 19), (35, 7), (36, 7), (37, 37), (38, 7), (39, 5), (40, 11), (41, 41), (42, 7), (43, 43), (44, 5), (45, 11), (46, 7), (47, 47),(48, 11), (49, 5), (50, 7)]

Muutamia kysymyksiä liittyen aiheeseen

  • Todista, että edellä esitetty iterointi päätyy jossain vaiheessa tilanteeseen, että sama luku toistuu.
  • Tuntuu siltä, että lukua 4 lukuunottamatta mr -funktion arvot tulevat olemaan alkulukuja. Jätetään tämän asian perustelu todistettavaksi lukijalle.
  • Vaikuttaa siltä, että suorien y = x/n läheisyyteen osuu vähän pisteitä jos n > 1 on pariton ja x on riittävän suuri. Miksi?
  • Jokainen alkuluku, joka on suurempi kuin 4 voidaan esittää kahden tai useamman alkuluvun summana, vai voiko? Riittääkö edellisen virkkeen todistaminen osoittamaan, että mr:n arvojoukko (kun määrittelyjoukossa ei ole alkulukuja) sisältää kaikki kolmosta suuremmat alkuluvut.
  • Kuinka pitkiä ovat f-funktion iteraatiot? f- funktiolla tarkoitetaan alkutekijöiden summaa.
  • Todista, että jokainen alkuluku voidaan esittää alkulukujen summana.
  • Riittääkö edellisen lauseen todistaminen todistamaan että mr-funktio on hyvin määritelty, eli että jokaisella x:n arvolla f-funktion iteraatio päätyy silmukkaan, jossa sama luku toistuu.
  • Todista, että jokainen luku voidaan esittää alkulukujen summana.
  • Kuinka monta alkulukua tarvitaan, että jokainen alkuluku voidaan esittää niiden summana. Esimerkiksi 5 = 2 + 3 eli tarvitaan kaksi alkulukua mutta 11 = 7 + 2 + 2 = 5 + 3 + 5 eli tarvitaan kolme alkulukua. Riittääkö kolme alkulukua vai tarvitaanko jollekin alkuluvulle enemmän?
  • Miten tilanne muuttuu, jos käytetään f-funktion määrittelyssä luvun alkutekijöitä siten, että summaan hyväksytään vain eri alkuluvut?   18 = 2·3·3 ja f(18) = 2 + 3 = 5.

Jos sinua kiinnostaa kuka lietkin niin kommentoi tai esitä todistuksesi kommentoimalla tätä viestiä.

Aiheesta lisää löytyy kun Googlettaa ”prime farctor sum iteration”.