Nopeasti kasvavia funktioita/lukujonoja

Tutkin tässä tarinassa joitakin kasvavia lukujonoja. Jotkut jonot kasvavat vikkelämmin kuin toiset. Aloitetaan potenssifunktiosta ja lopetetaan Ackermannin lukuihin. Tarinassa on mukana muutamia tehtäviä, joista toiset ovat helpompia ja toiset vaikeampia. Täytyy tunnustaa, että en itse osaa ratkaista kaikkia ongelmiani :o)

Aika monen tehtävän ”vastaus” löytyy suoraan tekstistä. Tehtävissä on tietysti ideana, että ratkaisija itse ratkaisee ongelmat omilla menetelmillään.

Koska alaindeksien kanssa puuhasteleminen on hidasta samaistan lukujonot funktioihin.

hiekanlaskija

Arkhimedes (noin 287 – 212 eaa) pohti, miten määritellä suuria lukuja. Noihin aikoihin kreikkalaisilla suurin nimetty luku oli myriadi = 10000. Hiekanlaskijaksi kutsutussa artikkelissaan, tai paremminkin Syrakusan kuningas Gelonille osoitetussa kirjeessä, hän kehitti matemaattisen menetelmän kuvata suuria lukuja. Hän perusti lukujärjestelmänsä lukuun 1000² = 100000000 = 10⁸ = a. Arkhimedeksen tarinassa esitetty suurin luku on

missä A = 8·10¹⁶. Varmaankin kaikki tarinan ajatuksella lukeneet ovat ymmärtäneet, että lukujen määrittämistä voi jatkaa aina suurempiin ja suurempiin lukuihin.

Jotta saadaan jonkinlainen kuva funktioiden kasvunopeudesta, niin otetaan yhdeksi vertailukohdaksi iso luku, vaikkapa googol eli 10¹⁰⁰ = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Ennen vanhaan 9.99999999·10⁹⁹ oli suurin luku, jota perinteiset funktiolaskimet osasivat käsitellä, eli googol oli liian luku laskimille.

Arkhimedes laski Hiekanlaskijassaan että maailmankaikkeuteen mahtuisi alle 10⁶³ hiekanjyvää, nykytietämyksen mukaan hiekanjyvien lukumäärä olisi noin 10⁹⁶. Jos maailmankaikkeus täytettäisiin atomeilla, niin siihen saataisiin mahtumaan noin 10¹¹⁰ atomia.

Tehtävä 1. Osoita, että Arkhimedeen suuressa luvussa kymmenen potenssi on A = 8·10¹⁶.

Tehtävä 2. Laske kuinka monta hiekanjyvää mahtuisi koko tunnettuun maailmankaikkeuteen.

potenssi/polynomifunktio

Polynomit/potenssifunktiot kasvavat vikkelästi, kun asteluku on iso. Kuvassa on polynomien xⁿkuvaajat, kun n saa arvot 1, …, 100.

Otetaan esimerkiksi kymmenennen asteen potenssifunktio x^10. Lukujonona se olisi a_x = (10, 100, 1000, 10000, …). Googol saavutetaan jo x:n arvolla 1000000000.

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö x^10 = googol

Tehtävä 4. Derivoi funktio f(x) = x^10.

Tehtävä 5. Integroi funktio f(x) = x^10.

eksponenttifunktio

Eksponenttifunktiot a^x, kun a > 1, kasvavat nopeasti suurilla x:n arvoilla. Riittävän suurilla x:n arvoilla, ne kasvavat nopeammin kuin potenssifunktiot.

Otetaan esimerkiksi potenssifunktio f(x) = x¹⁰ ja eksponenttifunktio g(x) = 10^x. Aluksi potenssifunktion arvot ovat selvästi suurempia kuin eksponenttifunktion arvot, lopulta kuitenkin eksponenttifunktio ohittaa potenssifunktion. Eksponenttifunktio g(x) = 10 saavuttaa googolin x:n arvolla 100.

Tehtävä 6. Ratkaise yhtälö x¹⁰ = 10^x.

Tehtävä 7. Ratkaise yhtälö 10^x = googol.

Tehtävä 8. Derivoi g(x) = 10^x .

Tehtävä 9. Integroi g(x) = 10^x .

Tehtävä 10. Todista, että riittävän suurilla x:n arvoilla eksponenttifunktion a^x, a > 0 arvot ovat suurempia kuin potenssifunktion xⁿ arvot. Eli että on olemassa … muotoile itse lauseesi.

kertoma

Kertomafunktio kertoo kuinka monella eri tavalla joukon alkiot voidaan laittaa eri järjestykseen. Esimerkiksi viisi korttia voi olla 5*4*3*2*1 = 120 eri järjestyksessä.

Kertomafunktion kertolaskuun perustuva määritelmä pätee vain luonnollisille luvuille (0! = 1), mutta se voidaan määritellä myös siten, että x voi olla mikä tahansa reaaliluku. Niinpä esimerkiksi luvun pii kertoma on noin 7.188. Määrittelyn apuna käytetään gamma-funktiota, jolle pätee 𝛤(n) = (n – 1)!. Gamma-funktio löytyy myös GeoGebrasta, Nspirestä (valitettavasti koneessani ei enää ole Nspireä) ja Speedcrunch-ohjelmasta.

Kertomafunktion x! kasvu on vikkelää. Googol ylitetään x:n arvolla 70.

Vertaillaan eksponenttifunktion 10^x ja kertomafunktion x! arvoja. Alla Pythonilla tuotettu taulukko, josta näkee, että kertomafunktio ohittaa eksponenttifunktion 10^x arvot kun x = 25.

Kuvassa on kertomafunktion ja eksponenttifunktion logaritmien kuvaajat: ln(x!) ja ln(10^x).

Kertomafunktiolle pätee yksinkertainen likimääräiskaava nimeltään Stirlingin kaava.

x!\approx f\left(x\right)=\sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x

Tehtävä 11. Ratkaise x! = googol, likiarvo varmaankin riittää.

Tehtävä 12. Ratkaise yhtälö 10^x = x!. Jos haluat tutkia vain luonnollisia lukuja, niin muotoile itse ongelmasi tyyliin, mikä on ensimmäinen luonnollinen luku x, jolla …

Tehtävä 13. Derivoi Stirlingin funktio f(x).

Tehtävä 14. Integroi Stirlingin funktio f(x) :o)

Tehtävä 15. Todista, että kertomafunktion x! arvot ovat suurempia kuin eksponenttifunktion a^x riittävän suurilla x:n arvoilla.

x^x

Tämän tyyppiselle funktiolla ei varsinaisesti ole omaa nimeä, x potenssiin x kelvannee. Toki sitä voidaan merkitä tetraatiolaskutoimitusmerkinnällä ²x tai x↑2. Palataan näihin merkintöihin kohtapuoliin. Funktion x^xarvot ylittävät googolin x:n arvolla 57.

Tehtävä 16. Ratkaise yhtälö x^x = googol.

Tehtävä 17. Derivoi f(x) = x^x.

Tehtävä 18. Integroi f(x) = x^x :o)

Tehtävä 19. Todista, että x^x > x!, kun x > 1.

Tehtävä 20. Määritä funktion f(x) = x^x pienin arvo, kun x > 0.

hyperkertoma

Kertomafunktiossa luku kerrotaan sitä pienemmillä positiivisillä luonnollisilla luvuilla

Luvun x hyperkertomalla tarkoitetaan lukua, joka saadaan kun x^x kerrotaan x:ää pienempien pienempien luonnollisten lukujen x >0 potensseilla itsensä kanssa. $H\left(x\right)=x^x\cdot\left(x-1\right)^{x-1}...\ 2^2\cdot1^1=\prod_{i=1}^xi^i$

Myös H voidaan määritellä jatkuvaksi kaikilla reaaliluvuilla K-funktion avulla. Sitä ei löydy GeoGebrasta :o(

Hyperkertoma ylittää googolin kun x = 15. Alla olevassa taulukossa hyperkertomafunktio on hk(x).

Kuvaajassa x^x:n ja hyperkertoman kymmenkantaiset logaritmit.

Tehtävä 21. Luo omalla laskinohjelmistollasi tai käyttämälläsi ohjelmointikielellä funktio, joka laskee hyperkertoman arvoja. Laske H(13) ja H(23) esitä tulos kymmenpotenssimuodossa..

Tehtävä 22. Ratkaise millä x:n arvolla H(x) ylittää googolin.

Tehtävä 23. Todista, että kakkosta suuremmilla x:n arvoilla H(x) on suurempi kuin x^x.

Tehtävä 24. Osoita, että H(5) on yhtä suuri kuin vuorokauden pituus millisekunteina.

tetraatio

Tetraatiota pidetään neljäntenä laskutoimituksena yhteenlaskun, kertolaskun ja potenssiin korottamisen jälkeen. Rudy Ruckerin merkitsemistavalla

_{}^{b}a=\underbrace{a^{a^{a^{.^{.}}}}}_\textrm{b kpl}

Esimerkiksi kaksi tetratoituna kolmeen ³2 (vai olisiko parempi sanoa kaksi tetratoituna kolmanteen)

Potenssien potenssien … potensseja voidaan kutsua myös potenssitorneiksi. Edellisen esimerkin ³2 on kolmannen kertaluokan potenssitorni kakkosia.

Funktio, jossa x tetratoidaan itsellään T(x) = ^xx kasvaa tosi nopeasti.

T\left(3\right)\ =\ _{ }^33=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987

T(4) on jo niin suuri luku, että en osaa laskea sen arvoa. Sen suuruusluokka on noin 10^N, missä N ≈ 8·10¹⁵³.

Tehtävä 25. Osoita, että T(4) on noin 10^N, missä N ≈ 8·10¹⁵³

Tehtävä 26. Todista, että T(x) > H(x), kun x > 2.

Ackermannin lukujono

Tetraatiota voidaan merkitä myös nuolimerkinnällä. Donald Knuth kehitti merkitsemistavan 1970-luvulla.

Nuolimerkinnällä potenssiin korotus on

ja tetraatio

a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a\uparrow a\uparrow...a}_\textrm{b kpl} =\ _{ }^ba

Näillä nuolilla päästään helposti vielä vikkelämmin kasvaviin funktioihin,

a\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace{a\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow ...\uparrow\uparrow a}_\textrm{b kpl}

ja niin edelleen.

Vuonna 1928 Wilhelm Ackermann määritti rekursiivisen funktion A(m, n, p), jätän sen määritelmän opiskelun lukijan harteille. Alun perin funktion määritelmässä oli kolme muuttujaa, nykyään se määritellään rekursiivisesti yleensä kahdella muuttujalla A(m, n). Ackermannin funktio kasvaa sanoisinko sairaan nopeasti. Ackermannin funktiosta voidaan johtaa lukujono, jota Conway ja Guy kutsuvat Ackermannin luvuiksi. Niiden lukuarvot voidaan laskea nuolimerkinnällä merkittynä

A\left(n\right)\ = n \underbrace{\uparrow \uparrow...\uparrow}_\textrm{n kpl}n

Ackermannin funktion arvot eli Ackermannin lukujonon arvot kasvavat aika vikkelästi.

Tehtävä 27. Laske A(1) ja A(2)

Tehtävä 28. Kuinka monta kolmosta on korotettuna luvussa A(3).

Tehtävä 29. Laske A(3):n likiarvo kymmenpotenssimuodossa.

Tehtävä 30. Keksi jokin mielekäs tapa esittää kuinka suuri on A(4).

Conwayn ja Guyn funktio

Lupasin päättää tarinan Ackermannin lukuihin, mutta laitetaan tänne loppuun vielä nopeammin kasvava funktio. Kirjassaan The Book of Numbers John Horton Conway ja Richard K. Guy esittävät merkintätavan, jota he kutsuvat nimellä ketjutettu nuoli (chained arrow). Siinä käytetään apuna Knuthin nuolia.

a\rightarrow b\rightarrow c\ = a \underbrace{\uparrow \uparrow...\uparrow}_\textrm{c kpl} b

Jätän tämänkin funktion tarkemman määritelmän tutkimisen asiasta kiinnostuneille. Conway ja Guy esittävät lukujononsa muodossa

CG(1) = 1

CG(2) = 2 →2

CG(3) = 3 →3→3

CG(4) = 4→4→4→4

jne.

Seuraavia tehtäviä varten kannattaa opiskella ketjutetun nuolen määritelmä vaikkapa sivulta https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation

Tehtävä 31. Osoita, että CG(1) = A(1)

Tehtävä 32. Osoita, että CG(2) = A(2)

Tehtävä 33. Osoita, että CG(3) = A(3)

Tehtävä 34. Osoita, että CG(4) on aika paljon suurempi kuin A(4).

Tehtävä 35. Mikä on Grahamin luku = G (liittyy graafiteoriaan)? Mikä on ensimmäinen x:n arvo, jolla A(x) > G? Mikä on ensimmäinen x:n arvo, jolla CG(x) > G?

Tehtävä 35. Kehitä vielä nopeammin kasvava lukujono.

rahaa tarjolla

Ratkaise tehtävät 1 – 35 ja kirjoita siisti ratkaisut. Tallenna ratkaisusi pdf:ksi ja lähetä se minulle m miukumauku hyl.fi Ensimmäinen ratkaisuja, joka on ratkaissut minun mielestäni oikein yli 30 tehtävää saa palkkioksi A(1):n verran euroja.

lähteet

Hiekanlaskija englanniksi Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Sand_Reckoner

Hiekanlaskijalukuja Scientific Gems-blogissa
https://scientificgems.wordpress.com/2018/04/05/the-sand-reckoner/

Hiekanlaskija teksti englanniksi
https://www.sacred-texts.com/cla/archim/sand/sandreck.htm

Googol Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Googol

Gammafunktio Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Gammafunktio

Hyperfactorial Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperfactorial

Tetraatio wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

Ackermannin funktio Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

Ackermannin luvut Mathematics Domainissa
https://arbital.com/p/ackermann_function/

Conway chained arrow notation Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation#Ackermann_function

Higher-Order Recursion Abstraction: How to Make Ackermann, Knuth and Conway Look Like a Bunch of Primitives, Figuratively Speaking, Baltasar Trancón y Widemann
https://arxiv.org/abs/1602.05010

Graham’s number Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number

Kirjoja

Conway, Guy. The Book of Numbers, Copernicus, 1998. Luku: Some Very Large Numbers.

Gardner. Penrose Tile to Trapdoor Ciphers. Freeman, 1989. Luku: Ramsey Theory.

Rucker. Infinity and the Mind. Birkhäuser, 1982. Luku: All the Numbers. Art Housella Mieli ja Äärettömyys.

22 tammikuun, 2023

Iteraatio-komennot GeoGebrassa – Newtonin menetelmä

Edellisessä artikkelissa keskityin Iteraatiolista-komennon käyttöön Verhulstin logistisen mallin bifurkaatiokaavion tuottamisen apuna. Tutkitaan Iteraatio ja Iteraatiolista -komentoja hieman tarkemmin.

Käytän tätä kirjoittaessani sekä GeoGebran 5 ja 6 versioita.

yksinkertainen syntaksi

Iteraatio-komennon kielioppi on yksinkertainen: Iteraatio( <Funktio>, <Alkuarvo>, <Iteraatioiden määrä> ). Iteraatiolista toimii samalla tavalla, mutta se palauttaa listan iteroinnin vaiheista. Listan ensimmäinen jäsen on alkuarvo. Niinpä listassa on n + 1 jäsentä, jos n on iteraatioiden lukumäärä. Yleensä näitä komentoja kannattaa käyttää vain Syöttökentän komentoina, varsinkin jos n on iso luku. Komentojen käyttö selvinnee alla olevasta CAS-esimerkistä.

Jos komennot kirjoittaa CAS:iin, niin silloin alkuarvona voi käyttää x:ää.

Iteraatiolista avulla saa aikaiseksi kummallisia kuvioita.

Newtonin menetelmä

Tehdään pieni esimerkki Newtonin menetelmästä. Luodaan ensin liu’ut alkuarvolle ja kierrosten lukumäärälle n.

Määritellään tutkittava funktio ja Newtonin menetelmän iteroitava lauseke.

Lasketaan n ensimmäistä iteraatiota.

Luodaan sopivasti pisteitä ja murtoviiva, jotta saadaan parempi kuva iteraatiosta.

Luodaan piste, joka näyttää iteraation viimeisen vaiheen.

hieman monimutkaisempi kielioppi

Iteraatio-komento toimii myös siten, että muuttujana voi olla jokin GeoGebran olio, ei pelkästään matemaattinen funktio: Iteraatio( <Lauseke>, <Muuttujat>, <Alkuarvot>, <Lukumäärä> ). Alla oleva laskee viidennen Fibonacciluvun.

Tämä syntaksi mahdollistaa vaikkapa derivaattojen ja integraalien iteroinnin.

Kun tätä syntaksia käyttää, niin pitää muistaa, että iteroinnin tulee palauttaa sellainen objekti, joka sopii ensimmäiselle muuttujalle syötteeksi. Fibonacci-esimerkissä ensimmäinen muuttuja on luku (tai itse asiassa kaksi lukua), derivaatta ja integraali -esimerkeissä ensimmäinen muuttuja on GeoGebran funktioihin liittyvä komento.

Seuraavassa esimerkissä Piirtoalueella on suora f ja pisteet C ja D. Komento

Iteraatiolista(Peilaus(Peilaus(p, f), C), p, {D}, 10)

peilaa pisteen D ensin suoran f suhteen ja sitten suhteen pisteen C . Näin syntyy piste, jolle toistetaan nuo peilaukset.

Syntyvien vihreiden pisteiden perusteella vaikuttaa siltä, että kyseiset pisteet ovat kahdella yhdensuuntaisella suoralla. Todista.

Mitäköhän tapahtuu, jos peilauksen järjestystä vaihdetaan? Kokeile itse.

Mandelbrot

Tehdään vielä lopuksi iteraatio, jolla testataan kuuluu piste Mandelbrotin joukkoon. Alkuperäinen piste ei c kuulu Mandelbrotin joukkoon, jos iteroinnin z_n+1= z_n² + c, z₀ = c raja-arvo on äärettömyydessä. Voidaan osoittaa, että jos iteraation tuottaman kompleksiluvun etäisyys on suurempi kuin 2, niin silloin alkuperäinen piste ei kuulu Mandelbrotin joukkoon. Tehdään ensin Iteraatiolistan pisteistä murtoviiva.

Tehdään uusi versio, jossa alkupiste muuttuu punaiseksi, jos iteroinnin viimeisen kompleksiluvun pituus < 2, eli alkuperäinen piste kuuluu Mandelbrotin joukkoon. Toki noita iterointeja tulisi olla aika paljon enemmän kuin 10, oikeastaan olisi fiksumpi värittää Mandelbrotin joukkoon kuulumattomat pisteet. Tätä versiota en pystynyt tekemään GeoGebra Classic 6:lla :o(

c = 1 + i (tuo i pitää näppäillä Ctrl - i)
viim = Iteraatio(c + z², z, {c}, 100)
zz = c

Muutetaan vielä zz:n Ominaisuuksista Näytä jälki ja Ominaisuudet -> Lisäasetukset Pituus(viim) < 2.

Kun liikuttaa c-pistettä, niin pikku hiljaa alkaa Mandelbrotin joukko näkyä.

Jos haluaisin tarkemin tutkia Mandelbrotin joukkoa, niin käyttäisin valmiita ohjelmia tai sitten koodaisin itse oman versioni Pythonilla.

Lähteet

Iteraatio-komento GeoGebra manuaalissa
https://wiki.geogebra.org/en/Iteration_Command

Iteraatiolista-komento GeoGebra manuaalissa
https://wiki.geogebra.org/en/IterationList_Command

Newtonin menetelmä appi GeoGebra Materiaaleissa
https://www.geogebra.org/m/cqbaa4eh

Mandelbrotin joukko Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotin_joukko

16 tammikuun, 2023

Verhulstin logistinen malli ja GeoGebran iteraatiolista-komento

Alun perin minun piti kirjoittaa pieni juttu GeoGebran Iteraatiolista/Iteraatio-komennoista, sitten mopo karkasi käsistä ja tästä tulikin tarina liittyen kaaosteorian syntyvaiheisiin. Täytynee myöhemmin kirjoittaa toinen artikkeli liittyen Iteraatio/Iteraatiolista -komentojen kielioppiin.

Tarinan lopusta löytyy linkki GeoGebra-kirjaan, jossa on tähän artikkeliin liittyviä GeoGebra-tiedostoja sekä linkki Python-versioon.

Verhulstin logistinen malli

1970-luvulla biologi Robert May tutki yksinkertaista rekursiivista populaatiomallia

missä vakio r saa arvoja > 0. Tätä rekursiivista mallia kutsutaan usein Verhulstin malliksi, sillä hän esitti mallin vuonna 1838. Wikipediassa Verhulstin malli esitetään muodossa

Mayn vuonna 1976 Naturessa julkaisussa artikkelissa ”Simple Mathematical Models With Very Complicated Dynamics” (linkki tarinan lopussa) löydettiin kaaos yksinkertaisella tavalla.

May muutti r:n arvoja ja tutki millaiseen tilanteeseen iteraatio johti. Hän havaitsi, että pienillä r:n arvoilla iteraatiosta syntyvä lukujono suppenee kohden yhtä arvoa. Kasvattamalla r:ää lukujono päätyy hyppelehtimään kahden, neljän, …jne. arvon välillä. Näitä kasautumispisteitä kutsutaan attraktoreiksi.

Tein alla olevaan GeoGebra-taulukkoon pienen testin iteraatiosta eri r:n arvoilla. Rivillä 1 sarakkeesta B alkaen on eri r:n arvoja, alkuarvona x0 = 0.1. A-sarakkeella näkyy iteraation indeksi n ja sarakkeilla B-H laskennan arvot.

Vakion r arvoilla 0.5, …, 2.5 iterointi näyttää käyttäytyvän aika tylsästi. Lukujonot suppenevat kohti yhtä pistettä. r:n arvolla 3 jono näyttää hyppelehtivän kahden arvon välillä ja kun r = 3.5 lukujono hyppelehtii neljän luvun välillä. Taulukosta näkee, että r:n arvolla 4 lukujono hyppelehtii ihan sekavasti..

Tässä vaiheessa jätetään taulukkolaskenta ja aletaan tutkia mallia GeoGebran iteraatio-komentojen avulla.

iteraatio Iteraatiolista-komennon avulla

GeoGebralla funktion iterointi onnistuu helposti Iteraatio ja Iteraatiolista-komentojen avulla. Iteraatio-komento laskee iteraation n:n arvon ja Iteraatiolista tuottaa listan n:stä ensimmäisestä arvosta alkuarvo mukaan lukien; Iteraatiolista( <Funktio>, <Alkuarvo>, <Iteraatioiden määrä> ). Teen tässä tarinassa kaikki komennot GeoGebra 5:n Syöttökenttään, on hyvä muistaa, että CAS:ia ei kannata käyttää, jos pisteitä on paljon.

Tutkitaan ensin, mitä iteroinnissa tapahtuu, kun parametria r muutetaan. Luodaan aluksi liuku r ja määritellään funktio. Iteraatiolista tuottaa listan iteroinnin n:nnestä termistä.

Laitetaan pisteitä koordinaatistoon Jono-komennon avulla.

Kun vakion r arvoja muuttaa, niin näkee miten kasautumispiste muuttuu yhdestä pisteestä kahteen, sitten neljään jne. Tätä ilmiötä kutsutaan bifurkaatioksi.

Alla yksi kasautumispiste eli attraktori.

Kaksi kasautumispistettä.

Neljä kasautumispistettä.

Kahdeksaa on vaikeata löytää, sillä aika pian tuo kasautumispisteiden joukko muuttuu kaoottiseksi.

Kasautumispisteiden kuvaaja eri r:n arvoilla

Tässä vaiheessa May ja kumppanit varmaankin päätyivät käyttämään apuna tietokoneita ja loivat kuvaajan, jota kutsutaan bifurkaatiodiagrammiksi. Mayn artikkelissa on oheinen kuvaaja. Mayn artikkelissa a vastaa tämän tarinan r:ää.

Tehdään ensin kokeilumalli yksittäisellä r:n arvolla. Luodaan sitten varsinainen kuvaaja käyttäen useita eri r:n arvoja Jono-komennon avulla.

harjoitusversio

Luodaan lista l1, jossa on funktion r x (1 – x) iteraation arvot, kun iteraatiota toistetaan n kertaa. Aluksi n = 100 ja r vaikkapa 2.5. Käytän alussa pientä n:n arvoa, jotta testaaminen ei kaadu pisteiden lukumäärään.

Poimitaan m viimeistä listasta l1. Nämä toivottavasti edustavat kasautumispisteitä.

Tosin tuossa l2 listassa on 11 alkiota, ei tehdä siitä ongelmaa.

Luodaan r:n arvoista ja kasautumispisteiden arvoista pisteitä koordinaatistoon Zip-komennon avulla. Zip-komennon toimintaa olen esitellyt esimerkiksi artikkelissa ”Kolme noppaa ja Zip-komento”, linkki löytyy lähteistä. Tuolla ylempänä tein saman Jono-komennon avulla. Zip on tyylikkäämpi :o)

Muokataan l3-pisteiden ominaisuuksia siten, että pisteistä jää jälki ja pisteen koko on pieni. Tehdään r:stä liuku ja muutetaan sen arvoja, näin saadaan kasautumispisteet näkyviin eri r:n arvoilla.

Muutetaan n:n ja m:n arvoja suuremmiksi, tässä vaiheessa ei kannata ahnehtia liian suurilla arvoilla. Muutetaan liu’un minimiarvoksi 1, maksimiarvoksi 4 ja animaatioaskeleeksi 0.01.

lopullinen versio bifurkaatiokuvaajasta

Luodaan yksi komento, jossa Jono-komennon avulla tuotetaan bifurkaatiokuvaaja. Minä käytin tekstinkäsittelyohjelmaa apuna, kun yhdistin Iteraatiolista, Poimi, Zip ja Jono -komennot yhdelle riville. GeoGebran yksi ”heikkous” on, että toisinaan se pakottaa käyttäjän kirjoittamaan pitkiä komentorivejä. Virheiden etsintä ja korjaaminen on suht’koht hankalaa.

Tässä kuvassa n = 1000, m = 200 ja r:n arvojen välimatka d = 0.01.

m1 = Jono(Zip((q, s), s, Poimi(Iteraatiolista(q x (1 - x), 0.1, n - 1), n - m)), q, 1, 4, d)

Alla kasautumispisteet d:n arvolla 0.001 välillä (Jono-komennon reunat) arvoilla 3.4 – 4.

Jätän lukijan tutkimaan tarkemmin iteraatiolle tapahtuu eri r:n arvoilla ja miksi. Voi myös pohdiskella, miksi tässä tarinassa tutkitaan vain r:n arvoja 1 – 4 ja miksi iteroidut arvot pysyvät välillä 0 – 1.

Pythonistit kirjoittanevat omat koodinpätkänsä bifurkaatiokaavion tuottamiseksi.

Laitan vielä loppuun bonuksena kuvaajan funktion iteroinnista. Kun Iteraatiolista-komennon kirjoittaa CASiin, niin se suorittaa iteroinnin koko funktiolle. Alla g(x) taitaa olla 32:n asteen polynomi.

Lähteet

Verhulstin logistinen malli – GeoGebra kirja
https://www.geogebra.org/m/grwcfuur

Bifurkaatio Pythonilla Colabissa
https://colab.research.google.com/drive/1jrF42hti2fEIrGgoi_BRonrW03JXi_L0?usp=sharing

Kolme noppaa ja Zip-komento
https://mikkorahikka.blog/2019/08/27/kolme-noppaa-ja-zip-komento/

Robert May, Simple Mathematical Models With Very Complicated Dynamics
https://www.researchgate.net/publication/237005499_Simple_Mathematical_Models_With_Very_Complicated_Dynamics

Verhulst Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fran%C3%A7ois_Verhulst

Bifurcation Diagram Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_diagram

Alla olevat kirjat ovat parhaat lähteeni aiheeseen.

James Cleick. Chaos. Cardinal. 1987. Luku Life’s Ups and Downs. Tämä kirja löytyy myös suomen kielellä.

Douglas R. Hofstadter. Metamagical Themas: Questing for Essence of Mind and Pattern. Penguin. 1985. Luku 16. Mathematical Chaos and Strange Attractors.

A.K. Dewdney. The Magic Machine, a Handbook of Computer Sorcery. Freeman. 1990 Luku 4 The Strange Attractions of Chaos.

Ivars Peterson. The Mathematical Tourist. Freeman. 1988. Luku 6 The Dragons of Chaos.