Taivaanmekaniikan Kahden kappaleen ongelmassa, kappaleiden nopeusvektorit piirtävät ympyrän (v_x, v_y)-koordinaatistossa, kirjoitin aiheesta edellisessä artikkelissani. Jonkun aikaa asiaa aihetta pohdiskeltuani päädyin seuraavankaltaiseen todistukseen. Ideana oli, että todistus olisi ymmärrettävä, kun on opiskellut riittävästi lukiomatematiikkaa ja fysiikkaa. Tämän yksinkertaisempaan todistukseen en pystynyt vaikka käytin apuna eri tekoälyjä. 

Todistuksen juoni on seuraava. Tutkitaan kappaleiden liikettä ellipsiradoilla kiinteän massakeskipisteen suhteen. Keplerin toisen lain eli pinta-alalain kautta saadaan yhteys etäisyyden neliön ja kulmanopeuden välille. Kun tämä tieto sijoitetaan liikeyhtälöön, saadaan lopulta nopeuden komponenteille yhtälöt, jotka osoittavat, että kappaleiden (v_x, v_y)-koordinaatit  muodostavat ympyrän. 

Laskut laskin GeoGebra 5:llä.

todistus

Tutkitaan Kahden kappaleen probleemaa Newtonin lain mukaisessa gravitaatiokentässä. Osoitetaan, että kappaleiden nopeuksien koordinaatit  (v_x, v_y)  muodostavat ympyrän. Käytän todistuksessa seuraavia muuttujia.

Keplerin ja Newtonin mukaan kappaleet kiertävät ellipsiradoilla massakeskipistettä. Ne vetävät toisiaan puoleensa, niinpä molempiin kohdistuva vetovoima on koko ajan kohti massakeskipistettä.

Etäisyyksille massakeskipisteestä pätee, m·R = M·r. Ratkaistaan R ja lasketaan R+r.  Näin  solussa 5 havaitaan, että r + R on suoraan verrannollinen r:n kanssa. 

Kepler II laki kertoo, että planeetan sädevektori massakeskipisteestä katsottuna pyyhkii yhtä suuret pinta-alat samassa ajassa. Oheisessa kuvassa tutkitaan tilannetta pienellä aikavälillä dt. Kappale on aikavälin alussa pisteessä F. Se kulkee kohtisuoraan sädettä vastaan matkan ds = v_n·dt, missä v_n on nopeuden v sädettä vastaan kohtisuora komponentti. Pinta-alan muutos on dA = r·ds/2 + kolmion FBH ala. Koska aikaväli dt on pieni, niin myös jana HB on mitätön, niinpä kolmion FBH ala ≈ 0. Jos olet kiinnostunut tästä arviosta, niin tutustu ”Ison kirjan alaongelma” artikkelin lähteissä oleviin artikkeleihin.

Alla Newtonin kuva, jonka avulla hän todistaa pinta-alalain.

Ajassa dt kappale liikkuu kohtisuoraan sädettä r vastaan matkan ds = v_n·dt, alla solu 8. Solussa 11 sijoitetaan kohtisuoran nopeuden paikalle r·dθ/dt (nopeus = säde· kulmanopeus). Pinta-alalain (Kepler II) mukaan dA/dt on vakio, niinpä solussa 12 merkitään sitä vakiolla B. Näin solussa 13 saadaan osoitettua, että etäisyyden neliö ja kulmanopeus ovat kääntäen verrannollisia. Tietysti tuon kakkosenkin olisi voinut yhdistää tuohon vakioon, mutta lukija ymmärtänee että luku kaksi on vakio :o)

Solussa 16 sijoitetaan solun 5 etäisyyden r lauseke, näin saadaan kiihtyvyys kääntäen verrannolliseksi etäisyyden r neliöön. Solussa 17 korvataan G/(M/(m+M)/m)^2 vakiolla K. Soluissa 18 ja 19 jaetaan kiihtyvyys x- ja y- suuntaisiin komponentteihin.

Soluissa 21 ja 22 sijoitetaan kiihtyvyyden komponentteihin  1/r^2 =  dθ/(2Bdt) solusta 13 ja lopulta nopeuden komponentit saadaan integroimalla kiihtyvyydet.

Seuraavassa osoitetaan, että saadut nopeuden ratkaisut toteuttavat ympyrän yhtälön. Soluissa 28 ja 29 siirretään integroimisvakiot yhtälön vasemmalle puolelle. Solussa 30 korotetaan edelliset yhtälöt toiseen potenssiin ja lasketaan yhteen. Solujen 31… 33 avulla osoitetaan, että solun 32 yhtälön oikea puoli on vakion K/(2B) neliö eli nopeusympyrän säde.

QED.

vertailu simulaatioon

Jos tunnetaan kappaleiden massat, etäisyyden ja nopeudet apogeumissa (kauimmaisin  piste), niin ympyrän keskipisteen ja säteen lukuarvot voi laskea. Tässä vaiheessa annoin tehtävän Geminille ja se laski Maa-Kuu systeemille arvoja, joiden avulla piirsin nopeusympyrät GeoGebrassa.

Kun lasketaan Kuun etäisyys massakeskipisteestä ja nopeus massakeskipisteen suhteen, niin nopeusympyröiden säteet sievenevät yllättäen aika yksinkertaisiksi lausekkeiksi.

Kaavoissa G on gravitaatiovakio, M Maan massa, r_a Maan ja Kuun etäisyys, v_Ka Kuun nopeus ja v_Ma Maan nopeus apogeumissa.

Keskipisteiden x-koordinaatit ovat x-akselilla ja y-koordinaatit saadaan kaavoilla:

Geminin tuottama Python-simulaatio tuotti seuraavat kuvaajat.

Alla nopeusympyrävakioiden arvot laskettuna todistuksen mukaisen mallin mukaan todellisilla arvoilla apogeumissa (kaukaisimmassa pisteessä) ja simuloinnin tuottamat arvot, kun alkuarvoina käytetään todellisia arvoja. Minusta mallin ja simulaation tuottamat arvot ovat yllättävän lähellä toisiaan.

tekoälyratkaisuista

Tämän projektin toteutin alusta saakka käyttämällä apuna tekoälyjä. Simulaatio-ohjelman kirjoitin Geminin avustuksella Google Colabissa. Todistuksen avuksi pyysin Geminiä, Claudea, ChatGPT:tä ja Copilotia tuottamaan todistuksen käyttämällä lukiotason matematiikkaa ja fysiikkaa. Periaatteessa kaikki tuottivat toimivan todistuksen, tosin Clauden ja ChatGPT:n ratkaisut olivat pikkuisen haastavia ymmärtää lukiomatikan/fysiikan avulla. Kaikkia tekoälyt unohtivat todistuksissaan aluksi, että R + r on eri kuin r, joten niitä piti ohjata oikeille raiteille. Geminin ja Copilotin ratkaisut olivat hyvin samankaltaisia, tein oman todistukseni  niiden pohjalta. 

Pyysin näitä neljää tekoälya laskemaan tuottamiensa mallien avulla nopeusympyröiden säteet ja keskipisteiden etäisyydet origosta. ”Laske Maan ja Kuun nopeusympyröiden säteet ja keskipisteiden etäisyydet origosta käyttämällä seuraavia arvoja. Maan ja Kuun etäisyys apogeumissa  = 405400000, Maan massa (M)= 5.9722e+24, Kuun massa = 7.3477e+22, Gravitaatiovakio = 6.6743e-11, Maan nopeus apogeumissa = 11.9 ja Kuun nopeus apogeumissa = 968.1. Yksiköt ovat SI-järjestelmässä.”

Taulukosta näkee, että tekoälyjen  laskemat arvot ovat suhtkoht lähellä toisiaan. Tosin hieman ihmetyttää, että tekoälyjen tuottamat lukuarvot eivät ole yhtä suuria.

Lähteet

Kaksoistähtisysteemin nopeuskuvaajat ovat ympyröitä
https://mikkorahikka.blog/2026/03/23/kaksoistahtisysteemin-nopeuskuvaajat-ovat-ympyroita/

KEPLER’S LAWS FOR THE 2-BODY PROBLEM
https://vanderbei.princeton.edu/tex/2body/2body_unequal_mass.pdf

Ison kirjan alaongelma
https://mikkorahikka.blog/2025/02/18/ison-kirjan-ala-ongelma/

Apsidi Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Apsidi_(t%C3%A4htitiede)

Isaac Newton. The Principia. Mathematical Principles of Natural Philosophy. 1726. A New Translation by I. B. Cohen & A. Whitman. University of California Press. 1999