Annuiteettilainakomennot GeoGebralla ### Talousmatikan GeoGebra-komennot osa 3

Annuiteettilaskuongelmiin GeoGebra ja perinteiset taulukkolaskentaohjelmat tarjoavat useita valmiita komentoja. GeoGebralla nämä ovat nimeltään Maksuerä, Korkokanta, Korkokaudet, Nykyarvo ja TulevaArvo. Tutkitaan esimerkkien avulla miten komennot toimivat GeoGebra CAS:issa.

Oheisessa taulukossa on esitetty nämä komennot/funktiot eri ohjelmissa. Periaatteessa kaikissa ohjelmissa ne toimivat samalla tavalla.

Esimerkki 1.

Otetaan 10000 euron laina korkokannalla 3 %/a. Laske tasaerän eli annuiteetin suuruus kun, laina maksetaan tasaerinä neljässä vuodessa a) vuosittain b) kuukausittain.

Ratkaisu:

a) Taulukkokirjassa on kaava

Kopioin kaavan sähköisestä kirjasta ja sijoitin GeoGebra 6:n CAS:iin.

Muokkasin kaavan muotoon

Valitettavasti taulukkokirjasta kopioitujen kaavojen LaTeX-koodin sijoittaminen GeoGebra 5:een ei onnistu.

Käyttämällä Maksuerä( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> ) -komentoa sama tulos saadaan kirjoittamalla CAS:iin:

Maksuerä(3%, 4, 10000, 0, 0)
≈ -2690.27

Maksuerän tulosteessa oleva miinusmerkki tarkoittaa, että se raha on poispäin lainanottajalta. Syötteessä oleva 10000 on plusmerkkinen, eli se tulee lainanottajalle.

Maksuerä-komennon <Tuleva arvo> – muuttuja kertoo lainan määrän tehtyjen maksujen jälkeen. Viimeinen muuttuja <Laji> on oletuksena 0, silloin korko maksetaan jakson lopussa. Luku 1 tarkoittaisi, että korko maksetaan jakson alussa. Jos kaksi viimeistä on nollia, niin ne voi jättää pois komennosta.

b) Jos käyttää taulukkokirjan kaavaa, niin kannattaa antaa ensin muuttujille arvot ja sitten sijoittaa ne kaavaan. 

Käyttämällä Maksuerä-komentoa saadaa sama tulos.

Maksuerä(3%/12, 12*4, 10000)
≈ -221.34327

Esimerkki 2

Kuinka paljon edellistä lainaa on jäljellä kahden vuoden kuluttua kun, laina maksetaan tasaerinä neljässä vuodessa a) vuosittain b) kuukausittain.

Ratkaisu:

a) Taulukkokirjan kaavassa

Kahden vuoden kuluttua eli toisen lyhennyksen jälkeen eli k = 2.

TulevaArvo-komennolla:

TulevaArvo(3%, 2, -2690.27, 10000)
≈ -5147.75

b) 

Kaavalla:

TulevaArvo-komennolla:

TulevaArvo(3%/12, 2*12, -221.34, 10000)
≈ -5149.84877

TulevaArvo-komentoa käsittelin aiemmassa tarinassani https://mikonfysiikka.wordpress.com/2020/09/09/tulevaarvo-geogebra-komento-talousmatikan-geogebra-komennot-osa-1/

Esimerkki 3.

Otetaan 10000€:n tasaerälaina neljäksi vuodeksi ja se maksetaan kuukausittain. Kuinka suuri korkokannan tulisi olla, jotta tasaerä olisi 250€.

Ratkaisu:

Käyttämällä taulukkokirjan kaavaa 

saadaan yhtälö, josta pitää ratkaista korkokerroin q.

Rivillä 5 käytin Ratkaisut- komentoa. Se on kuin Ratkaise-komento, mutta esittää ratkaisut lukuina eikä yhtälöinä tyyliin {q = -0.9133 ….}. Seuraavalla rivillä otan ratkaisulistan RR toisen alkion lukuarvon ja vähennän siitä 1.

Näin tutkimalla vuotuisen koron tulisi olla noin 9.2418%. 

Käyttämällä Korkokanta( <Korkokausien lukumäärä>, <Erä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)>, <Arvaus (valinnainen)> )-komentoa ratkaisu saadaan kaavalla

Tarkistetaan lasku käyttämällä Maksuerä-komentoa.

Maksuerä(0.092417669856/12, 4*12, 10000)
≈ -249.9999999988

Esimerkki 4.

Otetaan 10000€:n tasaerälaina maksetaan kuukausittain, vuotuinen korkokanta on 3%. Kuinka monta 250 €:n tasaerää tulee maksaa, että koko laina saadaan maksettua.

Ratkaisu:

Nyt ollaan ratkaisemassa yhtälöstä

n-muuttujaa. 

Korkokanta( <Korkokausien lukumäärä>, <Erä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)>, <Arvaus (valinnainen)> )-komennolla tulos saadaan:

Korkokaudet( 3%/12, -250, 10000)
≈ 42.2

Näin ollen maksetaan 42 kertaa eli 3 ja puoli vuotta 250€ ja sitten pienempi kuukausierä koko lainan takaisinmaksamiseksi.

Tarkistetaan
Maksuerä(3%/12, 42, 10000)
≈ -251.11

Esimerkki 5.

Kuinka suuren lainan voi ottaa, kun sitä lyhennetään kuukausittain kolme vuotta, korkokannan ollessa 3% ja tasaerä on 300€?

Ratkaisu: 

Tässä tapauksessa ollaan ratkaisemassa yhtälöstä

lainapääomaa K.

Nykyarvo-komennolla sen saa laskettua:

Nykyarvo(3%/12, 3*12, -300)
≈ 10315.94

Nykyarvo-komentoa olen käsitellyt tarinassani https://mikonfysiikka.wordpress.com/2020/09/14/nykyarvo-geogebra-komento-talousmatikan-geogebra-komennot-osa-2/

Tarkistetaan:

Maksuerä(3%/12, 3*12, 10315.94)
≈ -300.00001

Kehotan arvoisaa lukijaa ratkaisemaan Esimerkeissä 4 ja 5 vastaavat yhtälöt numeerisesti samaan tapaan kuin Esimerkin 3 ratkaisussa.

Nykyarvo GeoGebra-komento ### Talousmatikan GeoGebra-komennot osa 2

Edellisessä artikkelissani tarkastelin esimerkein GeoGebran TulevaArvo-komentoa. Tutkitaan nyt samaan tapaan Nykyarvo-komentoa. Hyvä lukijani, toivon, että olet lukenut edellisen tarinani TulevaArvo-komennosta, sillä Nykyarvo toimii samalla logiikalla.

Nykyarvo laskee jaksollisten sijoitusten nykyarvon diskonttausperiaatteella. Komennon syntaksi: Nykyarvo( <Korkokanta>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> ), englanniksi komento on PresentValue. Excelissä se on NA, LibreOfficessa NYKYARVO ja Google Sheetsissä PV.

 Komennon muuttujat toimivat samaan tapaan kuin TulevaArvo-komennossa. Viimeinen muuttuja Laji on oletuksena 0 ja tällöin maksu tehdään korkokauden lopussa, jos sen arvo on 1, niin maksu tehdään alussa. Tapaus 1 on se yleisempi tilanne lukiolaskuissa.

Esimerkki 1

Kauppias päättää tarjota ostajalle kolme eri tapaa tuotteen maksamiselle.
Vaihtoehto A: Maksa nyt 1000€ ja sen jälkeen vuosittain 1000€, yhteensä 10 kertaa.
Vaihtoehto B: Maksa vuoden lopussa 1050 euroa ja sen jälkeen vuosittain 1050 euroa, yhteensä 10 kertaa.
Vaihtoehto C: Maksa heti 9000 €.

Mikä on ostajan kannalta edullisin tapa suorittaa maksu, jos hän tietää, että sijoitetulle pääomalle hän saisi 3 %:n vuotuisen koron ja hän käyttää laskussaan diskonttausperiaatetta.

Ratkaisu:

Lasketaan tulevien maksujen nykyarvo diskonttauskaavalla. Kuvassa on taulukkolaskennalla lasketut nykyarvot eri maksusuorituksille. Solussa C1 on kaava =B2 * 1.03^(-A2) ja solussa F3 on kaava =E3 * 1.03^(-A3). Kaavat on monistettu alaspäin.

Ilman taulukkoa nykyarvot olisi saanut laskettua Nykyarvo-komennolla. Ensimmäinen vaihtoehto, jossa maksetaan vuoden alussa saadaan laskettua komennolla

Nykyarvo(3%, 10, -1000, 0,1)
-> 8786.11

Vaihtoehto B saadaan laskettua komennolla

Nykyarvo(3%, 10, -1050, 0, 0)
-> 8956.71

Vastaus: Ostajalle tulee edullisimmaksi vaihtoehdoksi A.

Mikäli maksuja suoritetaan useampia korkojakson aikana, niin tällöin pitää muistaa muuttaa sekä <Korkokanta>, että <Korkokausien lukumäärä> -muuttujien arvoja.

Esimerkki 2. Maksetaan kuukausittain 100€ 10 vuoden ajan. Laske sijoituksen nykyarvo diskonttausperiaatteella 3%:n korkokannalla.

Ratkaisu:

Tulkitaan, että ensimmäisen maksu tapahtuu nyt eli sen nykyarvo on 100€. 

Nykyarvo(3%/12, 10*12, -100, 0, 1)
-> 10382.07

Vastaus: Kaikkien sijoitusten nykyarvojen summa on 10382.07 €.


TulevaArvo ja Nykyarvo -komentoja voi käyttää myös tasaerälainalaskuissa. Seuraavassa osassa tutkitaan tasaerä eli annuiteettilainoja.

TulevaArvo GeoGebra-komento ### Talousmatikan GeoGebra -komennot osa 1

GeoGebrassa, kuten muissakin taulukkolaskentaohjelmissa on monia talousmatematiikan funktioita. TulevaArvo ja NykyArvo -komennot avustavat jaksollisissa koronkorko ja diskonttauslaskuissa. Annuiteettilainalaskuille on omat komentonsa. Näitä olen käsitellyt joskus menneisyydessä, mutta palannen näihinkin lähiaikoina.

Näiden funktioiden käyttö on sikäli hankalaa, että on vaikeata muistaa, miten säädellä sitä miten pitkältä ajalta ensimmäisen (ja viimeisen) talletuksen korko maksetaan. Tutkitaan TulevaArvo-komentoa muutaman esimerkin avulla. Palaan NykyArvo-komentoon myöhemmin.

GeoGebran Tuleva Arvo laskee vuotuisien talletusten tulevan arvon koronkoron kaavan mukaisesti. On huomattava, että jos talletukset tehdään vaikkapa kuukausittain, niin funktion avulla ei todellista tulevaa arvoa voi laskea, sillä vuoden sisällä korko lasketaan yksinkertaisen koron avulla. Englanniksi TulevaArvo on FutureValue. Excelissä ja LibreOfficessa vastaava kaava on TULEVA.ARVO ja Google Sheetsissä FV.

Esimerkki 1. 

Sijoitetaan vuosittain 10 kertaa 1200 €:n talletuksia, siten että (netto)korkokanta on 3%. Ajatellaan ensin, että maksu tehdään vuoden lopussa ja lasketaan sijoituksen arvo kun viimeinen talletus tehdään. Ensimmäinen 1200€ on kasvanut korkoa korolle tällöin 9 vuotta ja viimeinen 0 vuotta.

Oheisessa taulukossa näkyy kunkin talletuksen tuleva arvo, esimerkiksi solussa D3 on kaava = B1*1.03^C3

TulevaArvo( <Korkokanta>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Nykyarvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> ) -komennon avulla tällainen lasku saadaan tehtyä komennolla

TulevaArvo(3%, 10, -1200)
-> 13756.66

Kirjoitan komennot GeoGebra 5:n CAS:iin, samat komennot toimivat muissakin versioissa. Tässä pitää muistaa, että talletettu (raha minulta poispäin) merkitään negatiiviseksi.

Jos ensimmäisen vuoden alussa (eli sen vuoden alussa, kun ensimmäinen talletus tehtiin vuoden lopussa) tilillä on ollut rahaa vaikkapa 2000€, niin sen saa laskuun mukaan käyttämällä <Nykyarvo> -muuttujaa.

TulevaArvo(0.03, 10, -1200, -2000)
-> 16444.49

Esimerkki 2.

Muutetaan esimerkkiä 1. siten, että tehdään talletukset tehdään vuoden alussa. Tällöin ensimmäinen talletus on kasvanut korkoa 10 vuotta ja viimeinen yhden vuoden.

Taulukon solussa D3 on kaava =B3*1.03^C3

Suoraan talletusten tulevan arvon olisi saanut komennolla

TulevaArvo(0.03, 10, -1200, 0, 1)
-> 14169.35

Komennon viimeinen muuttuja <Laji> kertoo miten korko maksetaan tai paremminkin milloin talletus on tehty. Luku nolla viittaa (loogisesti?) vuoden loppuun ja luku yksi vuoden alkuun.

Jos tilillä on ollut rahaa ensimmäisen talletuksen yhteydessä 2000€ (eli sekin on kasvanut korkoa 10 vuotta), niin kymmenennen vuoden lopussa tilillä on rahaa

TulevaArvo(0.03, 10, -1200, -2000, 1)
-> 16857.19

Esimerkki 3.

Lapsi syntyi 1.1.2000. Isovanhemmat alkoivat sijoittaa kuukausittain 1000€ tilille, jonka vuotuinen nettokorkokanta oli 3%. Viimeinen talletus tehdään 1.12.2020. Kuinka paljon rahaa tilillä on 1.1.2021? Unohdetaan tilinhoitomaksut ja mahdolliset pyöristykset.

Ratkaisu

Tässä pitää ensin laskea kuinka paljon vuoden aikana tehdyt talletukset kasvavat korkoa yhteensä. Tammikuussa talletettu 100€ kasvaa korkoa 100€*0.03*12/12, helmikuun talletus 100€*0.03*11/12, … ja joulukuun talletus 100€*0.03/12. Kyseessä on aritmeettinen jono, jonka summa on 12*(100€*0.03+100€*0.03/12)/2 = 19.5€.

Niinpä vuoden aikana talletettujen satasten arvo vastaa 1219.5€:n talletusta vuoden lopussa. Tällaisia talletuksia voidaan ajatella talletettavan 21 kertaa. Tämä vastaa esimerkki 1:n tilannetta. Niinpä talletusten arvo 1.1.21 on

TulevaArvo(0.03, 21, -1219.5)
-> 34970.97434

Tässä on siis huomattava, että TulevaArvo-funktio ei ota huomioon sitä, että korko maksetaan jokaisen vuoden lopussa ja vuoden sisällä se lasketaan yksinkertaisen koron kaavalla. Komento

TulevaArvo(0.03/12, 12*21, -100, 0, 1)
-> 35133.01

olisi tuottanut reilun 100€:n virheen.

Esimerkki 4. 

Otavan Huippusarjan kirjan 6 esimerkki sivulta 61.

Jenni tallettaa kymmenen kalenterivuoden ajan jokaisen kuukauden alussa 120 € tilille, jonka nettokorkokanta on 0,55 %. Kuinka paljon Jennillä on rahaa säästössä kymmenen vuoden kuluttua ensimmäisestä talletuksesta?

Ratkaisu yhdellä rivillä, en kehota ratkaisemaan tehtävää näin.

TulevaArvo(0.0055, 10, -(12*120+120*0.0055*12*(1+1/12)/2))
-> 14805.66

NykyArvo-komento toimii samalla logiikalla.  Kirjoitan siitä lähipäivinä oman tarinan.

Lähteitä:

TulevaArvo ohjesivu https://wiki.geogebra.org/en/FutureValue_Command?note=fi