Boolen logiikkaa GeoGebralla MAA11 kurssille

[9.4.22 korjasin totuustaulukon, lisäsin loppuun kommentin ekvivalenttisuudesta.]

Jokunen aika sitten selvittelin, millaisia komentoja GeoGebra tarjoaa MAA 11-kurssin avuksi (MAA11 kurssin GeoGebra-komentoja). Tutkitaan, miten Boolen logiikka toimii GeoGebrassa. Tapani mukaan teen esimerkit GeoGebra 5:llä. Tätä kirjoittaessa käytössäni on 697-versio. En voi vannoa, että kaikki esimerkit toimivat samoin GeoGebra 6:ssa.

Konnektiivit CASissa

Oheisessa taulukossa on Boolen logiikan konnektiivit ja niiden näppäinoikotiet.

Tutkitaan CASissa niiden toimintaa. Klikkaan lausekkeen kirjoittamisen jälkeen Tarkista lauseke-painikkeeseen, jotta nähdään, miten GeoGebra tulkitsee kirjoittamani lauseen.

Yleisesti lauseiden tutkiminen ei toimi CASissa (joskus toimii joskus ei). Jotta totuuden tutkiminen onnistuu, on muuttujilla oltava totuusarvo.

true =1 ja false=0

GeoGebra tulkitsee totuusarvon true luvuksi 1 ja false nollaksi CASissa ja syöttökentässä (Algebraikkunassa), mutta ei taulukkolaskennassa.

Soluissa 23 ja 24 lasketaan, kuinka monta alkulukua on 100 ensimmäisen luonnollisen luvun joukossa.

Totuustaulut

Usein loogisten lausekkeiden ekvivalenttisuutta tutkitaan totuustauluissa. Mikäli lauseissa on vain 2 tai 3 eri muuttujaa, niin totuustaulukon eri vaihtoehtojen tuottaminen onnistunee helposti käsin. Eri vaihtoehtojahan on 2ˆ(muuttujien lukumäärä).

Teen aluksi yksinkertaisen esimerkin, jossa tutkitaan pitääkö de Morganin sääntö

\neg\left(p\wedge q\right)\Leftrightarrow\left(\neg p\right)\vee\left(\neg q\right)

paikkansa. Kyllähän minä tiedän, että se pitää, mutta todistetaan se näin leikisti.

Kirjoitetaan aluksi otsikot ja totuusarvot taulukkolaskentaan. Kokemuksesta tiedän, että totuusarvoina ei voi käyttää ykkösiä ja nollia. Kun kirjoitan 1. rivin otsikot, niin laitan ne lainausmerkkien sisään, näin varmistan, että GeoGebra varmasti tulkitsee lausekkeen tekstinä. Kirjoitettaessa lauseita, kannattaa avata taulukkolaskennan syöttökenttä vasemman reunan fx-painikkeesta. Erikoismerkit, mukaan lukien loogiset konnektiivit, löytyvät oikean reunan alfa-painikkeen takaa. Taulukkolaskennassa ei kannata käyttää näppäinoikoteitä, ainakin minulla GeoGebra 5:n Mac-versiossa ne eivät toimi loogisesti.

Kirjoitetaan soluihin C2 ja D2 kaavat ja monistetaan alue C2:D2 alaspäin.

Alla lopullinen taulukko, josta nähdään, että kyseinen de Morganin sääntö pätee.

Otavan Juurisarjan Maa11 kirjassa on hankalahko esimerkki 

Ratkaisussa pitää tutkia, millä T:n, E:n ja O:n arvoilla lauseet ¬E→¬T ja (T∨E)→O ja (E∧O) ⇔ ¬T saavat samat totuusarvot. Koska kolmannessa on ekvivalenssinuoli, se pitää kääntää kahdeksi implikaatioksi ((E∧O)→¬T)∧((¬T)->(E∧O)).

Tässä vaiheessa tarvitaan 2^3 = 8 riviä eri totuusvaihtoehtoja. Toki ne pystyy vielä kirjoittamaan käsin, mutta esitän tässä, miten tuon voisi tuottaa semiohjelmallisesti, käyttäisin tätä menetelmää, jos muuttujia olisi neljä tai enemmän. Tuskin sellaista tulee vastaan koulumatematiikassa.

Luodaan lista totuusarvoista

totuus = {}

Kaikki kahdeksan eri totuusarvokolmikkolistaa tuotetaan komennolla (tämän tekemiseen kului muutama minuutti). 

l1 = Jono(Jono(Jono({{Alkio(totuus, c), Alkio(totuus, b), Alkio(totuus, a)}}, a, 1, 2), b, 1, 2), c, 1, 2)

Kolme sisäkkäistä jonokomentoa tuottaa periaattessa 2x2x2 taulukon/matriisin.

l1 = {{{{{true, true, true}}, {{true, true, false}}}, {{{true, false, true}}, {{true, false, false}}}}, {{{{false, true, true}}, {{false, true, false}}}, {{{false, false, true}}, {{false, false, false}}}}} 

Muodostetaan l1:stä lista l2, jossa ei ole ollenkaan listoja jäseninä vaan pelkkiä totuusarvoja Tiivistä-komennolla.

l2 = Tiivistä(l1) 
l2 = {true, true, true, true, true, false, true, false, true, true, false, false, false, true, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false} 

Listasta l2 on helppo poimia totuusarvoja taulukkolaskentaan. Luodaan taulukkolaskentaan otsikkorivi ja A-sarakkeelle totuustaulukon järjestysnumero.

Soluun B2 kaava 

=Alkio(l2, (A2 - 1) * 3 + 1)

soluun C2 kaava

=Alkio(l2, (A2 - 1) * 3 + 2)

ja soluun D2 kaava

=Alkio(l2, (A2 - 1) * 3 + 3)

Kun Alue B2:D2 monistetaan alaspäin kahdeksannelle riville saadaan eri totuusarvot muuttujille T E ja O.

Vastaavasti soluihin E2, F2 ja G2 kirjoitetaat kaavat (näiden kirjoittamisessa pitää olla huolellinen).

=(¬C2) → (¬B2) 
=B2 ∨ C2 → D2 
=(C2 ∧ D2 → (¬B2)) ∧ ((¬B2) → C2 ∧ D2)

Monistamalla alaspäin saadaan totuusarvotaulukko valmiiksi.

Lisäsin vielä tarkistuksen vuoksi H-riville kaavan, jossa solussa H2:n kaava on 

=E2 ∧ F2 ∧ G2

Taulukosta nähdään, että alkuperäisen ehdon tuottaa tilanne, jossa T = false, E = true ja O = true.

Lisäys/korjaus edelliseen ratkaisuun.

Vasta julkaisun jälkeen tajusin, että tuo == eksvivalenttisuus tarkoittaa ekvivalenttisuutta. Niinpä G2 soluun olisi voinut kirjoittaa

=(C2 ∧ D2) ≟ (¬B2)

Logiikka on vaikeaa :o)


Tämän kirjoittaminen tapahtui koronatautini aikaan, opinpa tautini aikanakin jotain uutta.

Kertotaulu tai yhteenlaskulaskutaulu taulukkolaskennalla

Joskus tarvitsen yhteenlaskutaulukkoa, vaikkapa silloin, kun opetan kahden nopan summaan liittyviä todennäköisyyslaskennan laskuja. Esitän tässä, miten sellaisen luonti onnistuu suhteellisen helposti taulukkolaskentaohjelmissa.

Tehdään esimerkin vuoksi kahden nopan heiton summataulukko. Käytän tässä GeoGebra 5:n taulukkolaskentoa. Sama ohje toimii Excelissä, LibreOfficessa ja Google Sheetsissä.

yhteenlaskutaulukko

Laitetaan ensimmäisen nopan arvot Soluihin B1, …, G1 ja toisen A2, …, A7.

Syötetään soluun BC luku 1 ja C1 luku 2. Valitaan alue B1:C1 ja vedetään kahvasta (sininen pikkuneliö alueen oikeassa alakulmassa) oikealle soluun G1 saakka.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Luodaan samalla menetelmällä toisen nopan tulokset.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Varsinaista summataulukkoa varten tarvitsee luoda kaava, joka kopioituu oikein, kun kaavaa monistetaan oikealle tai alaspäin. Viittaukset liittyen rivi- ja saraketunnuksiin saa kiinnitettyä absoluuttisiksi käyttämällä dollari-merkkiä $.

Kirjoitetaan soluun B2 kaava =B$1 + $A2. Kertolaskutaulussa plussan tilalla olisi ollut kertomerkki. GeoGebrassa ei tarvitsisi laittaa taulukkolaskennan kaavan alkuun =-merkkiä, ei siitä haittaakaan ole. Muissa taulukkolaskentaohjelmissa sitä tarvitaan.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Valitaan solu B2 ja monistetaan kaava oikealle soluun G2 saakka.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Alue B2:G2 valittuna monistetaan rivin pätkä alaspäin kahvan avulla soluun G7 saakka.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti, elektroniikka, näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Samalla tavalla saa luotua kertolasku – tai jakolaskutaulukoita.

jakolaskutaulukko GeoGebralla 3D-pisteiksi

Tehdään ihan huvin vuoksi jakolaskutaulukko siten, että laskettuun soluun tulee 3D-pisteen koordinaatit (x, y, x/y).

Solussa B10 on kaava =(B$9, $A10, B$9 / $A10)

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Rivillä 15 olevat kysymysmerkit viittavat nollalla jakamiseen.

Tässä vaiheessa voisi kuvitella, että nuo pisteet näkyisivät 3D-alueella. Jostain kummasta syystä ne eivät näy siellä. Pisteet saa näkyville, kun kopioi pisteet soluviitteinä uuteen taulukon alueeseen.

Kirjoitetaan soluun B22 soluviite eli kaava = B10. Monistetaan soluviitettä oikealle ja sitten alue B22:L22 alaspäin riittävän pitkälle.

Kuva pisteistä koordinaatistossa on vähän tylsä. 

Laitetaan se pyörimään.



lähteitä

Excel ohje liittyen soluviittauksiin
https://support.microsoft.com/fi-fi/office/suhteellisten-suorien-ja-sekaviittausten-v%C3%A4lill%C3%A4-vaihtaminen-dfec08cd-ae65-4f56-839e-5f0d8d0baca9

Malinin ohje GeoGebran taulukkolaskentaan http://www.malinc.se/math/geogebra/spreadsheeten.php

Kevään 21 yo-kirjoitusten korrelaatiomatriisi

[edit 28.5. korjasin kirjoitusvihreitä ja lisäsin linkin originaalitiedostoon]

Toissa vuonna laskin LibreOfficella korrelaatiomatriisin kevään 19 ylioppilaskirjoitustuloksista. Silloin minua ihmetytti, että äidinkielellä ei ollut kovinkaan suuria korrelaatiokertoimia muiden aineiden kanssa. Biologialla ja maantieteellä oli huomattava tai voimakas yhdeksän eri aineen kanssa. Katso https://mikkorahikka.blog/2020/01/20/korrelaatiomatriisi-libreofficella-ytln-datasta/

Tänä keväänä tuotin saman matriisin käyttäen Exceliä. Sopivasti kopiomalla ja liittämällä transpoosin sain aikaan koko matriisin. Samalla muokkasin tietoja sen verran, että merkkasin korrelaation nollaksi niille ainepareille, joilla ei ollut vähintään kahta kirjoittajaa molemmissa aineissa. Laskin mukaan vain sellaiset aineet, joissa kirjoittajia oli yli 100.

Tällä kertaa laskin myös korrelaation kokonaispisteiden kanssa ja vielä lisäksi selitysasteiden eli korrelaatiokertoimien neliöiden summan kaikille aineille (kolmanneksi oikean puoleisin sarake). Toiseksi oikeanpuoleisella sarakkeella on laskettu niiden solujen lukumäärä, joissa r > 0,6 kyseisellä rivillä.

Avaa kuva suurena omaan välilehteen.

Tänä keväänä ihmetyttää se, että elämänkatsomustiedolla on korrelaatiokerroin huomattava tai voimakas ( > 0,6) 14 eri oppiaineen kanssa. Lukumäärän perusteella myös uskonto, yhteiskuntaoppi, biologia, psykologia ja ranskan lyhyt oppimäärä ovat sellaisia aineita, että niillä r > 0,6 usean muun aineen kanssa.

Kun tutkitaan selitysasteen summia, niin suurimmat summat ovat elämänkatsomustiedolla, yhteiskuntaopilla, uskonnolla, lyhyellä saksalla ja biologialla. 

Elämänkatsomustietoa kirjoitti vain 171 kokelasta, se voi selittä jonkin verran tätä tulosta.

Mitäköhän tämä tarkoittaa? Mitä se kertoo lukiostamme ja ylioppilaskokeesta yleensä?

Alla kuva aineiden lyhenteistä.

Alkuperäinen csv-tiedosto löytyy osoitteesta https://www.ylioppilastutkinto.fi/ext/data/FT2021KD3001.csv