Monty Hall Pythonilla – osa 3 

Viime vuoden puolella julkaisin kaksi artikkelia liittyen Monty Hall -probleemaan. Lupasin tehdä simulaation yleisestä tapauksesta, jossa vuohia on vähintään kaksi kappaletta ja autoja vähintään yksi. Lasketaan sellaisen tapauksen todennäköisyyksiä, että kilpailija aina vaihtaa valintansa, kun yksi vuohi on paljastettu.

Mikäli et ole lukenut aikaisempia tarinoita, niin katso täältä.

https://mikkorahikka.blog/2021/10/08/monty-hall-pythonilla/

https://mikkorahikka.blog/2021/10/29/monty-hall-pythonilla-osa-2/

Laitetaan tähän vielä muistin virkistykseksi Wikipediasta Monty Hall -pelin määritelmä: ”Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

python

Kolmen vuohen ja kahden auton tapauksessa vaikutti siltä, että todennäköisyys oli noin 8/15. 

Tehdään ohjelma, jossa vuohien ja autojen määrää voi muuttaa. Vuohia pitää olla vähintään kaksi, jotta peliä voi pelata ja autoja vähintään yksi. Kuvan koodi on Spyder-ohjelmointiympäristöstä.

Selitän rivillä 50 olevan yleisen kaavan johtamisen tarina loppupuolella.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Alla tulos Spyderin konsolista.

Nyt kun koodi näyttää toimivan, niin pakkohan sitä on kokeilla ylioppilaskoejärjestelmässä. Kopioin koodista rivit 10-52 ja sijoitin ne osoitteessa https://cheat.abitti.fi/build/index.html?fi&programming olevaan YTL:n Pythoniin. Ohjelma toimi, niin kuin sen pitikin.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

kuvaaja

3D-kuvaajan piirtäminen onnistuu helpoimmin, kun käyttää numpy-kirjastoa. Sillä saa kerralla laskettua funktion arvot matriisiin (2D taulukkoon), ohjelmakoodissa muuttuja Z rivillä 19. En kommentoi sen tarkemmin mitä kukin rivi tekee, jos haluat oppia, niin kokeile. Joskus opiskelen matplotlib ja numpy-kirjastot siten, että osaisin selittää miten ne oikeasti toimivat. Nyt olen vielä aloittelija niiden kanssa touhutessa. Useimmiten saan kuvaajat haluamikseni yrityksellä ja erehdyksellä.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Alla tuotos.

Tätä koodia ei voi suorittaa YTL:n Pythonissa, sillä se ei tuota kuvia. Alla vihreilmoitus osoitteessa https://cheat.abitti.fi/build/index.html?fi&programming

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

kuvaaja GeoGebralla

Edellisestä kuvasta on mielestäni hankala hahmottaa millaisilla arvoilla pelaaja voittaa. Niinpä päädyin käyttämään GeoGebraa.

Alla 3D-kuva

Loin sen kirjoittamalla GeoGebra 5:n syöttökenttään

p(x, y) = (x y + y (y – 1)) / ((x + y) (x + y – 2))

pp(x, y) = Jos(1 ≤ x < 11 ∧ 2 <= y < =11, p(x, y))

z=1/2

Piilotin p:n kuvaajasta. Ei tuonkaan kuvan pyörittely hahmota minulle, millainen alue on kyseessä.

Piirtoalueen xy-tasolle saa alueen, jossa p ≥ ½, näkyville seuraavasti. Jouduin hieman auttamaan GeoGebraa, jotta se osasi värittää epäyhtälön alueen.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Matikkanörtit voivat tutkia, millaiseta käyrästä on kyse.

ratkaisu kirjainlaskennolla

Koodeissa näkyvä yleisen ratkaisun lauseke voidaan johtaa oheisen puukaavion avulla.

Merkitään vuohien lukumäärää v:llä ja autojen a:lla.

Pelaaja voitttaa, jos toinen valinta on a. 

Jos hän valitsee vuohen ensin, niin sen todennäköisyys on v/(a + v). Tässä tapauksessa hän saa auton todennäköisyydellä a/(a + v – 2). Mahdollisuudet vähenevät kahdella, sillä hän ei voi valita samaa kuin ennen ja yksi vuohi on vähemmän.

Jos hän valitsee auton ensin, niin sen todennäköisyys on a/(a + v). Auton todennäköisyys tämän jälkeen on (a -1)(a + v + 2).

koodi

Tarinassa esitetty koodi löytyy Colabista

https://colab.research.google.com/drive/1Y2ODH9KNV4NX5OJ_8AbzWEzYW4Mz5Uoc?usp=sharing

lähteitä

Monty Hall englanniksi Wikipediass

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

ja suomeksi https://fi.wikipedia.org/wiki/Monty_Hallin_ongelma

Lisää pohdittavaa tässä artikkelissa

https://www.researchgate.net/publication/233565559_The_Monty_Hall_Problem_Reconsidered

Monty Hall Pythonilla – osa 2

Pari viikkoa sitten käsittelin Monty Hall -probleemaa Python ohjelmoinnin avulla. Jatkan tässä tarinaa aiheesta. Yleistetään ongelmaa hieman ja saadaan uusia ongelmia ratkaistavaksi. Aiempi artikkeli löytyy täältä.

Ongelma sanallisesti

Wikipediassa perinteinen Monty Hall -ongelma esitetään seuraavasti: ”Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Yleistetään ongelmaa siten, että vuohien ja autojen määrää voi vaihtaa. Ongelma olisi nyt tämän kaltainen. ”Olkoon v vuohien määrä (v > 1) ja a autojen määrä ( a ≥ 1). Ovien määrä on v + a.  Vuohet ja autot laitetaan satunnaisesti, yksi kunkin suljetun oven taakse. Kilpailija valitsee jonkin oven. Sen jälkeen lopuista ovista poistetaan yksi sellainen ovi, jonka takana on vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven johonkin jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Ratkaisu Pythonilla

Tehdään Pythonilla simulaatio, jossa pelaaja aina vaihtaa valintansa. Tutkitaan aluksi sellaista erikoistapausta, jossa on kolme ovea ja kaksi autoa. Yritän tässä jäljitellä minun tapaani tuottaa ohjelmia, ensin yritän saada ohjelman toimimaan yksinkertaisella versiolla, sitten siirryn monimutkaisempaan tapaukseen. Pyrin myös välttämään kovin pitkiä, vaikeasti luettavia koodirivejä. En myöskään pyri tässä mahdollisimman tehokkaaseen koodin. Tämä on tarkoitettu opiskelumateriaaliksi opettajille ja ohjelmoinnista kiinnostuneille koululaisille ja opiskelijoille.

Koodi

Alla olevat kuvankaappaukset ovat Spyder ohjelmointiympäristön editorin ja konsolin kuvia. Eli kuvassa näkyy ohjelma ja sen tuotos.

Jos olet lukenut edellisen tarinan ja ymmärtänyt sen, niin koodi taitaa olla aika itsestään selvä. Muutamia kommentteja silti. 

Rivit 1-7: Spyderin tuottamaa metatietoa, tämä on ”turhaa”. Toki rivi 2 takaa, että ääkkösten pitäisi toimia.

9-10: Random kirjaston funktiot, shuffle sekoittaa listan ja randint arpoo kokonaisluvun.

13: Luodaan ovet, nollat vuohia ja ykköset autoja eli voittoja.

16: Sekoitetaan ovet-lista.

20: Arvotaan luku väliltä 0, …, 4. Tässä pitää muistaa, että Pythonissa listan ensimmäisen jäsenen järjestysluku on 0. Funktio len(lista) tulostaa lista pituuden eli sen jäsenten lukumäärän. 

28: pop-metodi poistaa olion listasta ja antaa sen tulosteena.  Jos lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista.pop(1) antaa tulokseksi luvun 42 ja samalla listasta katoaa jäsen 42, eli nyt lista on [13, 666, 42].

32: remove-metodi poistaa ensimmäisen esiintymän syötteestään. Jos lista  = [13, 42, 42, 666, 42], niin lista.remove(42) muuttaa sen listaksi [13, 42, 666, 42].

37: Sekoitetaan jäljelle jääneet ovet uudestaan.

42: Valitaan ensimmäinen ovi. En enää jaksa arpoa jotain ovea ja sen jälkeen avata sitä, avaan eina ekan oven. Rivin 37 sekoittaminen takaa, että ovi on satunnainen. Saman olisi tietysti voinut tehdä jo rivillä 20, mutta siellä yritin noudattaa alkuperäistä reseptiä.

46-49 Päätöksentekoa voitosta.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Alla pari suorituskertaa.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Iterointia

Toistetaan peliä muutaman kerran ja lasketaan kuinka suuri osa tuottaa voittoja.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti
Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Ongelmia

Palannen yleiseen ongelmaan lähiaikoina. Nyt varmaankin valistunut lukija pystyy itsekin tuottamaan oman ratkaisunsa tämän kaltaisiin ongelmiin.

1 Jos vuohia on x kpl ja autoja y, niin määritä P(x, y).

2 Milloin P(x, y) > ½? Millainen tasoalue on kyseessä?

3 Kun sinulla on lauseke P:lle. Miten esittäisit sitä fiksuimmin kuvaajana?

4 Etsi pilkkuvirhe artikkelista.

koodi colabissa

täshätää

Jos edellä oleva linkki ei toimi, niin koita toisella selaimella.

Jakaumakomentoja GeoGebralla 1

[edit. 3.11 Lisäsin Miken kommentin GeoGebra-foorumilta]

Lukion lyhyen matematiikan Tilastot ja todennäköisyys 2 -kurssilla opitaan jakaumiin liittyvää matematiikkaa. Kaikkein helpoimmin suurin osa tehtävistä ratkeaa käyttämällä GeoGebra 5 ja 6 versioiden Todennäköisyyslaskuria. Jakaumia voi laskea myös käyttämällä komentoja. Tutkitaan komentojen käyttöä esimerkkien avulla.

Binomijakauma

Esimerkki 1. Heitetään noppaa 10 kertaa. a) Kuinka suurella todennäköisyydellä saadaan tasan kolme kuutosta? b) Kuinka suurella todennäköisyydellä saadaan korkeintaan kolme kuutosta.

GeoGebran CAS:issa Binomijakauma(n, p, k, totuus) laskee Binomijakauman pistetodennäköisyyden arvon, jos totuus on false. Jos totuusarvo on true, niin komento laskee kertymäfunktion arvon.

Ratkaisu:

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Viimeisellä rivillä näkyy menetelmä, jolla saa laskettua todennäköisyyksien summan peräkkäisillä k:n arvoilla.

Todennäköisyyslaskurilla:

Jos komentoa käyttää syöttökentässä, niin sen avulla saa piirrettyä jakauman histogrammin piirtoalueelle.

Poissonjakauma

Esimerkki 2. Koulun ruokalassa on ruokavälitunnilla keskimäärin 10,3 oppilasta jonossa. Tulet ruokailemaan. a) Millä todennäköisyydellä jonossa on tasan 8 oppilasta ennen sinua? b) Millä todennäköisyydellä jonossa on yli kahdeksan oppilasta. c) Millä todennäköisyydellä jonossa on 3…8 oppilasta?

Komento Poisson( µ, k, totuus ) toimii samalla tavalla kuin Binomijakaumakomentokin.

Ratkaisu:

c-kohta Todennäköisyyslaskurilla:

Nytpä havaitsin bugin GeoGebrassa. Jos tuolla syntaksilla Poisson(10.3, 3..8) odotusarvo on ei luonnollinen luku, niin komento antaa väärän tuloksen. Luonnollisilla odotusarvoluvuilla komento näyttää laskevan oikein. Lähetin aiheesta viestin GeoGebra foorumille. https://help.geogebra.org/topic/poisson10-5-11-16-gives-wrong-answer

Miken vastaus :o)

CAS:issa 

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

antaa saman tuloksen kuin Todennäköisyyslaskurikin.

Syöttökentässä Poisson(10.3) tuottaa jakauman histogrammin.

Tämän bugin selvittämiseen meni sen verran aikaa, että jatkan normaalijakauman komennoista lähipäivinä.