Neljännen asteen pentagrammifunktio

Tämän funktion on käsittääkseni keksinyt norjalainen Harald Totland. Kun pentagrammin kolmen pisteen kautta piirtää neljännen asteen polynomin, niin se kulkee myös pentagrammin kahden muun pisteen kautta.

Piirretään säännöllinen viisikulmio ABCDE, pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Tässä A = (-1 ,0) ja B = (1 , 0). Piirrtetään viisikulmioon pentagrammi ACEBD. Piste F on A:sta ja B:stä lähtevien pentagrammin sivujen/kylkien leikkauspiste. Olkoon P(x) se neljännen asteen polynomi, joka kulkee pisteiden A, B, ja F kautta siten, että kyseisissä pisteissä on polynomin paikalliset ääriarvokohdat kuten kuvassa.

Tällöin seuraavat lauseet ovat totta

  1. Polynomi p kulkee kahden muun pentagrammin pisteen kautta. Kuvan tilanteessa p(pisteen C x-koordinaatti) = Pisteen C y-koordinaatti.
  2. Piste, jossa p:n kuvaaja leikkaa sivun BE on suoraan yhden pentagrammin pisteen alapuolella. Sama pätee p:n ja AC: leikkauspisteelle. Kuvassa Pisteiden H ja G x-koordinaatit ovat yhtä suuret.
  3. Piste H jakaa janan BF kultaisen leikkauksen suhteessa.

Kolmannen lauseen huomasin itse kun tutkiskelin kuvaa.

Jätän polynomin lausekkeen määrittelyn menetelmän keksimisen ja lauseiden todistamisen ilon lukijalle. Tehtävä sopinee hyvin CAS-harjoitukseksi. Tuskin tätä ilman tietokonetta jaksaa ratkaista?

Lähde

Tämä artikkeli on varsinainen runsauden sarvi liittyen 4-asteen polynomeihin ja kultaiseen laikkaukseen.

Thomas Weibull. 4th degree polynomials and the Golden Section.

pentagrammi tampereella?

Kuuntelin radiosta ”Kuuta ei ole! Salaliittoteorioiden kulttuurihistoriaa” -ohjelmasarjaa. Ohjelmassa mainittiin, että Tampereen vanhat kirkot muodostavat pentagrammin, jos oikein muistan. Pakkohan asiaa on tutkia. Google löytää useampiakin sivuja, joissa asiaa käsitellään. Iltalehti on tehnyt aiheesta uutisenkin.

Menemättä sen syvemmin vapaamuurareihin ja heihin liittyviin salaliittoteorioihin, niin tarinoissa oli pari mielenkiintoista väitettä. 

  1. Jos Tampereen vanha kirkko keskipisteenä tekee ympyrän, jonka säde on 666 m, niin ympyrän kehälle sattuvat Tampereen vanhat kirkot.
  2. Vanhat kirkot muodostavat pentagrammin.

Tutkitaan väitteitä GeoGebran avulla. 

Otin kuvankaappauksen Tampereen keskustan kartasta siten, että sen leveydeksi (kartalla) tuli tasan kolme km. Sijoitin kartan GeoGebraan, siten että vasen alareuna oli origossa ja oikea alareuna pisteessä (30, 0). Merkitsin kirkot pisteinä: VA on Vanha kirkko, AL on Aleksanterin kirkko (rakennettu 1880–1881), FL on Finlaysonin kirkko (valmistui 1879), TU on Tuomiokirkko eli entinen Johanneksen kirkko (rakennettu 1902-1907) ja PAN Pyhän Aleksanteri Nevskin ja Pyhän Nikolaoksen kirkko eli ortodoksinen kirkko (1896–1899). Pisteitä merkitessäni zoomailin GeoGebrassa karttaa sen verran, että sain asetettua pisteet lähelle ristin muotoisten kirkkojen ristin keskustaa ja muissa keskelle kirkkoa. 

666 m:n teoria

Tutkitaan ensin tuota 666 m:n teoriaa. Piirretään VA keskipisteenä ympyrä, jonka säde on 6.66 GeoGebrassa eli kartalla säde on 666 m.

Aleksanterin kirkko on ympyrän kehällä. Tuomiokirkon nurkka taitaa olla myös ympyrän kehällä ja aika läheltä ympyrän kehä kulkee Ortodoksikirkkoakin. Myös Tampereen juna-aseman paikka näyttää mielenkiintoiselta. Finlaysonin kirkko on selvästi liian lähellä. 

Tutkitaan vielä noita kolmea kirkkoa, jotka ovat lähellä ympyrän kehää. Luodaan GeoGebralla ympyrä kolmen pisteen kautta käyttämällä pisteitä AL, TU ja PAN.

Ympyrän säteeksi tulee 6.61 eli maastossa 661 m. Voisi hyvinkin sanoa, että noiden kolmen kirkon läpi kulkee ympyrä, jonka säde on 666 m. Ympyrän keskipiste on kuvassa C, se on Keskustorilla. Pitääpä seuraavalla Tampereen vierailullani pistäytyä tuossa pisteessä.

Jätän lukijalle tehtäväksi pohtia, johtuuko tämä sattumasta, 1800-luvun kaupunkisuunnittelussa luodusta tietoisesta valinnasta vai jostain muusta.

pentagrammiteoria

Kuten kartasta näkee, ei pentagrammirteoriaan viittavia viittä vanhaa kirkkoa ole. On vain neljä tai oikeastaan kolme. Tai sitten jossain on Nalkalan kentän lähistöllä on salainen kirkko.

Piirretään GeoGebraan säännöllinen viisikulmio siten, että yhden sivun kärjet ovat TU ja PAN.

Tällä tavalla muodostetun pentagrammin kärjet eivät kulje muiden kirkkojen läpi kovin hyvin. Tuota salasista kirkkoa lähtisin etsimään Ratinan edustalla olevasta salmesta.

Dan Brown voisi sisällyttää tarinan johonkin tulevaan kirjaansa. Elokuvaversiossa Tom Hanks etsisi salaista kirkkoa ja joutuisi juoksemaan pahiksia pakoon musta makkara kädessään.

Loppupäätelmänä väittäisin, että Tampereella ei ole pentagrammia, jonka kärkinä on viisi vanhaa kirkkoa. 

Tarinaan liittyvä GeoGebra-tiedosto GeoGebra-tiedosto https://www.geogebra.org/m/hvqmsp8p


lähteet

https://www.is.fi/viihde/art-2000005649793.html

https://www.suomikuva.fi/vanhat-kartat-muut-kaupungit/

http://timomeriluoto.kapsi.fi/Sivut/Paasivu/KARTAT/Kaupunkikartat/Kaupunkikartat.html

https://www.sinikivi.com/sinikiven-paakirjoitukset/oudot-jutut/516-tampereen-esoteerinen-historia

https://ufohauta.jimdofree.com/k%C3%A4tketty-n%C3%A4kyville

https://www.washingtonian.com/2009/09/15/the-lost-symbol-dan-browns-pentagram-city/

3D -tulostus GeoGebralla tuotetusta mallista

Edellisessä tarinassani ”Dodekaedri 3D-tulostukseen GeoGebralla” kerroin miten loin GeoGebra 5:llä dodekaedrin, jonka tahkojen tilalla oli pentagrammit. Tulostaminen 3D-printterillä onnistuu GeoGebra 3D ohjelman avulla.

Tallennetaan ensin GeoGebra 5:llä tuotettu tiedosto GeoGebra Materiaaleihin. Luodaan tai avataan  3D kappaleen sisältävä Geogebra 5 -tiedosto. Tässä vaiheessa kannattaa piilottaa 3D-piirtoalueelta koordinaattiakselit, ruudukko ja xy-taso. Muuten ne tulevat mukaan 3D tulostukseen. Valitaan Tiedosto-valikosta Julkaise GeoGebrassa… Kirjaudutaan omilla tunnuksilla Materiaaleihin. Mikäli et halua tuotoksestasi julkista, niin valitse Näkyvyyden arvoksi Yksityinen. 

Tallennus tapahtuu oikean yläkulman Tallenna-kohdasta.

Klikataan GeoGebra-linkkiin selaimen ikkunassa eli siirrytään osoitteeseen https://www.geogebra.org. Klikataan sivulla kohtaan ”3D Kuvaajat”.

Kirjaudutaan omalle GeoGebra-tilille oikean yläkulman Kirjaudu-kohdasta. Vasemman yläkulman hampurilaisvalikosta valitaan Avaa. Mikäli kaikki on mennyt oikein, niin ensimmäisenä tiedostona näkyy vasta tallennettu tulostustesti. Muutoin tiedosto pitää hakea nimen avulla.

Kun tiedosto on avautunut GeoGebra 3D ohjelmassa se tallennetaan hampurilaisvalikon Tallenna piirtoalue -komennolla STL-muodossa. Oletuksena tiedosto tallentuu nimellä geogebra-export.stl Lataukset-kansioon.

Tallennettua GeoGebra mallia voi tarkastella, muokata ja tulostaa vaikkapa Ultimaker Cura-ohjelmalla. Ilmaisohjelmanvoi ladata osoitteesta https://ultimaker.com/en/products/ultimaker-cura-software. Kun geogebra-export.stl avataan Curassa, klikataan keltaiseen kappaleeseen. Tällöin kappaletta voi pyöritellä ja sen kokoa voi muokata. Oheisessa kuvassa malliin on lisätty tuet. Ohjelma on Layer view tilassa.

Mikäli 3D tulostin on yhteydessä ohjelmaan niin tulostuksen voi alkaa. Minifactorylta kesti vajaat 3 tuntia pentagrammidodekaedrin tulostaminen.

Kuvissa alkuperäinen tulostus tukien kanssa ja versio, jossa tuet on poistettu.

Eipä tämä nyt hirveän vaikeata ole. Taidanpa alkaa harrastella tätäkin.

Lisää luettavaa