Kevään 21 pitkän matikan tehtävän 8 ratkaisu GeoGebralla

[edit. 25.3. Lisäsin toisen version listan tuottamiseen. Korjasin pari kirjootusvihrettä]]

Tehtävässä piti arpoa pisteitä suorakaiteen muotoiselle tasoalueelle ja laskea kuinka suuri osa kuuluu suorakaiteen sisällä olevalle alueelle. GeoGebran Jono-komennolla ratkaisu on suhteellisen yksinkertainen, jos hallitsee pari komentoa.

https://yle.fi/plus/abitreenit/2021/Kevät/2021-03-24_M_fi/index.html#11

Luodaan tasoalue epäyhtälöiden avulla. Loogisen tai-operaattorin saa helpoimmin kirjoitettua kahdella & merkillä. Kirjoitetaan syöttökenttään

alue=0 ≤ x ≤ 2 && 0 ≤ y ≤ 4 && y ≥ x²

Satunnaisluku väliltä 0…1 saadaan funktiolla rand(). Niinpä 2*rand() tuottaa satunnaisluvun välillä  0≤x≤2. Sama olisi onnistunut myös komennolla SatunnainenTasajakaumanarvo(0, 2). Tässä olisi voinut valita pisteitä monikulmion sisältä myös käyttäen komentoa SatunnainenPisteAlueessa( <Monikulmio> ).

Komento OnkoAlueessa(piste, alue) palauttaa arvon true, jos piste kuuluu alueeseen ja false muutoin.

Luodaan jono-komennolla lista, jossa on ykkösiä, mikäli tuotettu piste on kyseisellä alueella ja muutoin 0.

l1 = Jono(Jos(OnkoAlueessa((2random(), 4random()), alue), 1, 0), mm, 1, 1000)

Itse asiassa tuossa ei olisi tarvinnut edes käyttää tuota aluetta, vaan käyttää sen sijaan epäyhtälöä.

Jono(Jos(OnkoAlueessa((2random(), 4random()), y ≥ x²), 1, 0), mm, 1, 1000)

Osumien määrä saadaan laskemalla ykkösten lukumäärä eli

a = Summa(l1)

Pekka Vienonen julkaisi oman versionsa GeoGebra-materiaaleissa. https://www.geogebra.org/m/czfvx8pg

Jakaumakomentoja GeoGebralla 2

Edellisessä artikkelissani Jakaumakomentoja GeoGebralla 1 käsittelin GeoGebran diskreetteihin jakaumiin liittyviä komentoja: Binomijakauma ja Poisson. Tutkitaanpa tällä kertaa normaalijakaumaa muutamien esimerkkien avustuksella.

Normaalijakauma

Esimerkki 1.  20 vuotiaiden poikien pituuden keskiarvo on 180,5 cm ja keskihajonta 6,3 cm. a) Kuinka suuri osa pojista on  alle 175 cm. b) välillä 170, … 190 cm.

GeoGebran Normaalijakauma(µ, σ, x ) laskee normaalijakauman N(µ, σ) kertymäfunktion arvon muuttujan arvolla x.

Ratkaisu:

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Tehtävän b-kohta Todennäköisyyslaskurilla.

Normaalijakauma-komento on siinä mielessä mukava, että mikä tahansa syötteistä voi olla tuntematon yhtälöissä.

Esimerkki 2. Normaalijakautuneessa pituusjakaumassa keskiarvo oli 165 ja 75 % oli alle 182 cm. Määritä jakauman keskihajonta.

Ratkaisu:

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Tätä ei voi ratkaista Todennäköisyyslaskurissa muutoin kuin kokeilemalla.

Esimerkki 3. Kuinka monen keskihajonnan päässä keskiarvosta on 97.5% jakauman arvoista?

Ratkaisu:

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Saman olisi voinut tehdä myös normaalijakauman käänteisfunktiolla KäänteisNormaalijakauma. 

Tämän voi ratkaista myös Todennäköisyyslaskurilla jättämällä X:n arvon tyhjäksi ja painamalla Enteriä Kertymäfunktion arvon kohdalla.

Esimerkki 4. Millä a:n arvolla jakaumassa N(0, 1) on 99% jakaumasta välillä -a ≤ x ≤ a?

Ratkaisu:

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Todennäköisyyslaskurilla tämä onnistuu vain kokeilemalla.

Jos Normaalijakauma-komentoon laittaa loppuun false, niin komento antaa tulokseksi normaalijakaumafunktion arvon.

Edellisen perusteella tiedän, että kun vapaalla kädellä piirrän normaalijakauman, niin keskihajonta löytyy 60%:n korkeudelta verrattuna jakauman korkeimpaan kohtaan.

Syöttökenttään kirjoitettuna Normaalijakauma(0, 1, x, true) tuottaa normaalijakauman  kertymäfunktion kuvaajan ja Normaalijakauma(0, 1, x, false) normaalijakauman kuvaajan.

Esimerkki 5. Resonanssi 7 fysiikan oppikirjassa tehtävässä 461 annettu mittaustuloksia sekunnin välein tunnin ajalta säteilymittarin tuottamista arvoista, kun tutkittiin Amerikum-241 isotoopin lähettämää säteilyä. Tehtävän c-kohdassa pitää muodostaa mittaustuloksista histogrammi ja pohtia mitä histogrammin muodon perusteella voi päätellä. 

Ratkaisu: Todennäköisyyslaskurin avulla nähdään, että jakauma noudattaa hyvin normaalijakaumaa N(1199, 31.76)

Saman olisi saanut aikaiseksi luomalla mittaustuloksista listan l1, ja laskemalla sen avulla keskiarvon ja keskihajonnan sekä tuottamalla tarvittavat kuvaajat. Koska lista on noin suuri ja tarvitsen vain likiarvoja, niin kirjoitan komennot syöttökenttään.

karvo = keskar(l1)
khajonta=stdevp(l1)
pienin = Min(l1)
suurin = Max(l1)
reunat = Jono(pienin - 0.5, suurin + 0.5, 1)
histo = Histogrammi(reunat, l1)
f(x) = 3600*Normaalijakauma(karvo, khajonta, x, false)

Pylväskaavion olisi saanut hieman helpomminkin komennolla

pylvas = Pylväskaavio(l1, 1)

Vaikuttanee siltä, että mittarin tuottamat tulokset jakautuvat likimain normaalijakauman muotoon. Näin tuleekin käydä, jos ja kun kyseessä on satunnaisilmiö.


Lähipäivinä palaan aiheeseen, tutkimalla miten satunnaislukukomennot toimivat GeoGebrassa.

Komentoihin liittyvät ohjesivut

Normaalijakauma https://wiki.geogebra.org/en/Normal_Command

KäänteisNormaalijakauma https://wiki.geogebra.org/en/InverseNormal_Command

Histogrammi https://wiki.geogebra.org/en/Histogram_Command

Pylväsdiagrammi https://wiki.geogebra.org/en/BarChart_Command