Neljännen asteen pentagrammifunktio

Tämän funktion on käsittääkseni keksinyt norjalainen Harald Totland. Kun pentagrammin kolmen pisteen kautta piirtää neljännen asteen polynomin, niin se kulkee myös pentagrammin kahden muun pisteen kautta.

Piirretään säännöllinen viisikulmio ABCDE, pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Tässä A = (-1 ,0) ja B = (1 , 0). Piirrtetään viisikulmioon pentagrammi ACEBD. Piste F on A:sta ja B:stä lähtevien pentagrammin sivujen/kylkien leikkauspiste. Olkoon P(x) se neljännen asteen polynomi, joka kulkee pisteiden A, B, ja F kautta siten, että kyseisissä pisteissä on polynomin paikalliset ääriarvokohdat kuten kuvassa.

Tällöin seuraavat lauseet ovat totta

  1. Polynomi p kulkee kahden muun pentagrammin pisteen kautta. Kuvan tilanteessa p(pisteen C x-koordinaatti) = Pisteen C y-koordinaatti.
  2. Piste, jossa p:n kuvaaja leikkaa sivun BE on suoraan yhden pentagrammin pisteen alapuolella. Sama pätee p:n ja AC: leikkauspisteelle. Kuvassa Pisteiden H ja G x-koordinaatit ovat yhtä suuret.
  3. Piste H jakaa janan BF kultaisen leikkauksen suhteessa.

Kolmannen lauseen huomasin itse kun tutkiskelin kuvaa.

Jätän polynomin lausekkeen määrittelyn menetelmän keksimisen ja lauseiden todistamisen ilon lukijalle. Tehtävä sopinee hyvin CAS-harjoitukseksi. Tuskin tätä ilman tietokonetta jaksaa ratkaista?

Lähde

Tämä artikkeli on varsinainen runsauden sarvi liittyen 4-asteen polynomeihin ja kultaiseen laikkaukseen.

Thomas Weibull. 4th degree polynomials and the Golden Section.

funktion derivaatta on funktion käänteisfunktio

Tämä ihmeellinen funktio löytyi Greg Eganin tweetistä. Funktio f(x):llä on sellainen ominaisuus, että f:n derivaatta on sama kuin funktion f käänteisfunktio.

Alla GeoGebralla määriteltynä funktio f, sen derivaatta g ja f:n käänteisfunktio h sekä funktioiden kuvaajat.

Jätän lukijalle tehtäväksi osoittaa, että f'(x) = h(x).

Alfahajoamisyhtälöpari GeoGebra CAS:illa

[edit. 3.11. Lisäsin Edwardin upean ”käsin tehdyn” ratkaisun tarinan loppuun.]

Fysiikan 7. kurssilla Aine ja säteily, lasketaan alfahajoamisessa vapautuva alfahiukkasen ja tytärytimen liike-energia. Yhtälöpari ratkeaa suhteellisen mukavasti kynällä ja paperilla, katsotaan miten saman asian voisi tehdä GeoGebralla. Samalla opitaan muutamia yhtälönratkaisuun liittyvää temppuja, jotka helpottavat laskijan elämää.

Käytän tässä GeoGebra 5 -versiota, mutta sama toimii GeoGebra 6:ssa ja uudessa GeoGebra CAS-ohjelmassa. Tarinan lopussa kommentoin miten GeoGebra CAS eroaa 5 ja 6 versioista.

Olkoon m alfahiukkasen massa, x sen nopeus, M tytärytimen massa, -y sen nopeus ja Q reaktiossa vapautuva energia. Energian säilymisen ja liikemäärän säilymisen perusteella saadaan yhtälöt:

Klikkaamalla hiirellä solun 1 siniseen alueeseen ja Vaihtonäppäin pohjassa rivin 2 siniseen alueeseen saadaan yhtälöt valittua ja Ratkaise työkalulla saadaan yhtälöpain ratkaisu. Saman asian olisi voinut tehdä komennolla Ratkaise({$1, $2},{x, y}). Tässä dollarimerkkien avulla viitataan riveihin 1 ja 2. Dollarimerkki tässä yhteydessä on siitä mukava, että jos haluaa muuttaa rivin 1 tai 2 yhtälöitä, niin GeoGebra muuttaa vastauksen automaattisesti. Mikäli soluihin viittaa #-merkillä, niin alkuperäisten yhtälöiden muuttaminen ei muuta Ratkaise komennon tuotosta.

Saatiin tuli kaksi (x, y) ratkaisua. Jos alkupeäisiä yhtälöitä tulkitsee geometrisesti, niin ensimmäinen yhtälö on ellipsi ja toinen yhtälö origon kautta kulkeva suora. Leikkauspisteet ovat koordinaatistossa symmetrisesti 1. ja 3. neljänneksissä. CAS tuottaa ratkaisut listana, jonka alkioina ovat ratkaisulistat. Tuosta listasta on hieman hankala poimia vaikkapa ensimmäisen yhtälön y:n arvoa. Niinpä kannattaa käyttää Ratkaisut-komentoa. Se tuottaa yhtälön ratkaisujen lausekkeista listan ja yhtälöpareissa matriisin. Annetaan ratkaisulle nimeksi RR.

Tässä matriisin ylin rivi on ensimmäinen ratkaisu ja alin toinen. Vasen pystysarake on x ja oikea y.  Merkitään v:llä ensimmäisen ratkaisun x:ää eli alfahiukkasen nopeutta ja V:llä tytärytimen nopeutta eli y:tä. Alkio-komennon avulla saadaan poimittua matriisista oikeat alkiot. Esimerkiksi Alkio(RR, 1, 2) valitsee RR-matriisista ensimmäisen rivin toisen alkion.

Lasketaan alfahiukkasen liike-energia.

Klikkaamalla kaksi kertaa Laske-työkaluun 

saadaan sievennetty ratkaisu.

Saman asian olisi voinut tehdä suoraan Sievennä-komennolla. Lasketaan ja sievennetään sen avulla tytärytimen liike-energia.

GeoGebra 6:ssa ratkaisu toimii samalla tavoin. GeoGebra CAS:issa ei ole työkalupainikkeita, niinpä ratkaiseminen pitää tehdä komennoilla. Rivejä ei myöskään numeroida. Siksi yhtälöt pitää nimetä rivin oikeassa yläkulman kolmen pisteen takana olevassa valikossa Lisää nimi.

Alla näkyy valikko noiden kolmen pisteen takana.

Oletuksena yhtälöt ovat nimeltään muotoa eq1, eq2, jne.

Alla koko ratkaisu GeoGebra CAS:illa.

Tähän tarinaan liittyvä esimerkkitiedosto löytyy GeoGebra Materiaaleista.

Eikä siinä vielä kaikki

Edward Krogius laittoi Facebookiin kauniin ratkaisumenetelmän ilman CAS:ia. En ole nähnyt tätä ennen. Oppikirjoissa yleensä näytetään ”tietyntyyppinen” temppu tehtävän ratkaisuun käsi-paperimenetelmällä. Verrannollisuuksien ymmärtäminen on kova juttu.