Mielenkiintoinen lause heittoliikkeestä

GeoGebra Materiaaleihin ilmestyi lokakuun lopussa Kari Peisan tekemä appi liittyen vinoon heittoliikkeeseen. En ole itse aiemmin törmännyt tähän teoreemaan/lauseeseen/väitteeseen, mutta ainakin minua se kummastuttaa kummasti. Pakkohan tätä on tutkia. Karin mukaan ongelma on esitetty alun perin eräässä Facebook-ryhmässä.

GeoGebra appissa ”Pisimmän heittoliikkeen alku- ja loppunopeus” https://www.geogebra.org/m/hgujahsm on seuraava väite.

Oheisessa kuvassa asetin h:n arvoksi 4 ja v:n arvoksi 10. Liu’un alfa avulla säädin kantaman mahdollisimman suureksi. Vaikuttaa siltä, että väite pitää ainakin likiarvoisesti paikkansa. Kokeilemalla eri korkeuksilla ja alkunopeuksilla alkaa vaikuttaa, että väite on luultavasti totta.

Päätinpä yrittää ”todistaa” lausetta kokeilemalla joillain lähtöarvoilla. Valitsin alkunopeudeksi 5 (m/s) ja lähtökorkeudeksi 13. Putoamiskiihtyvyys on 9.81 m/s2. 

Ratkaisun juoni on yksinkertainen. Määritetään kantaman lauseke kulman funktiona. Ratkaistaan kantaman derivaatan nollakohta, näin saadaan kulma, jolla kantama on suurin. Kyseisen kulman avulla lasketaan lentoaika ja sen avulla nopeuden komponentit kyseisellä ajan hetkellä. Alla kuvankaappauksia ja selityksiä ”todistukseen”.

rivi 1: kantamayhtälö

rivi 2: RA on yhtälön ratkaisulista

rivi 3: aika on suurempi ratkaisuista

rivi 4: kantama kulman funktiona

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuvaajassa kantama kulman funktiona. Kulma yksiköissä radiaani.

rivit 5-8: Kantaman derivaatan nollakohta, minua kiinnostaa vain tuo ensimmäinen eli maksimikohta.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

rivi 9: tt on lentoaika.

rivit 10–11: loppunopeuden komponentit

rivi 12: nopeuden suunta lopussa radiaaneina

rivit 13 ja 14: Alku- ja loppunopeusvektoreiden välinen kulma

Vaikuttaa siltä, että Lause pitää paikkansa.

Kun aloin kokeilla yleistä todistusta, niin törmäsin hankaluuksiin tuossa rivin 6 yhtälön ratkaisussa. Siitä taitaa tulla kuudennen asteen yhtälö sin(α):n suhteen. Pitääpä tutkia, miten saan lauseen todistettua yleisesti. 

Tai sitten jätän sen tehtäväksi sinulle arvoisa lukija.

Neljännen asteen pentagrammifunktio

Tämän funktion on käsittääkseni keksinyt norjalainen Harald Totland. Kun pentagrammin kolmen pisteen kautta piirtää neljännen asteen polynomin, niin se kulkee myös pentagrammin kahden muun pisteen kautta.

Piirretään säännöllinen viisikulmio ABCDE, pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Tässä A = (-1 ,0) ja B = (1 , 0). Piirrtetään viisikulmioon pentagrammi ACEBD. Piste F on A:sta ja B:stä lähtevien pentagrammin sivujen/kylkien leikkauspiste. Olkoon P(x) se neljännen asteen polynomi, joka kulkee pisteiden A, B, ja F kautta siten, että kyseisissä pisteissä on polynomin paikalliset ääriarvokohdat kuten kuvassa.

Tällöin seuraavat lauseet ovat totta

  1. Polynomi p kulkee kahden muun pentagrammin pisteen kautta. Kuvan tilanteessa p(pisteen C x-koordinaatti) = Pisteen C y-koordinaatti.
  2. Piste, jossa p:n kuvaaja leikkaa sivun BE on suoraan yhden pentagrammin pisteen alapuolella. Sama pätee p:n ja AC: leikkauspisteelle. Kuvassa Pisteiden H ja G x-koordinaatit ovat yhtä suuret.
  3. Piste H jakaa janan BF kultaisen leikkauksen suhteessa.

Kolmannen lauseen huomasin itse kun tutkiskelin kuvaa.

Jätän polynomin lausekkeen määrittelyn menetelmän keksimisen ja lauseiden todistamisen ilon lukijalle. Tehtävä sopinee hyvin CAS-harjoitukseksi. Tuskin tätä ilman tietokonetta jaksaa ratkaista?

Lähde

Tämä artikkeli on varsinainen runsauden sarvi liittyen 4-asteen polynomeihin ja kultaiseen laikkaukseen.

Thomas Weibull. 4th degree polynomials and the Golden Section.

funktion derivaatta on funktion käänteisfunktio

Tämä ihmeellinen funktio löytyi Greg Eganin tweetistä. Funktio f(x):llä on sellainen ominaisuus, että f:n derivaatta on sama kuin funktion f käänteisfunktio.

Alla GeoGebralla määriteltynä funktio f, sen derivaatta g ja f:n käänteisfunktio h sekä funktioiden kuvaajat.

Jätän lukijalle tehtäväksi osoittaa, että f'(x) = h(x).