Fibonaccitulosumman lauseke

[edit. 19.11.22 lisäsin jälkihuomautuksen loppuun ja linkin Simo Kivelän blogiin]

Pari viikkoa sitten kirjoitin minulle uudesta Fibonaccilukuihin liittyvästä totuudesta. Yritin ratkoa sitä eri tavoilla, mutta lausekkeet olivat niin sekavan näköisiä silmissäni, että en uskaltanut alkaa pohtia ratkaisua sen tarkemmin.

Aiheeseen liittyvä artikkeli on täällä https://mikkorahikka.blog/2022/10/27/uusi-fibonaccilukujono-ongelma/

Muistin visrkistykseksi itse ongelma. Jos F(n) on perinteisen Fibonaccilukujonon n:s termi ja Tantonin funktio T(a, b) = F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1), niin T(m, n) on myös Fibonacciluku kaikilla ykköstä suuremmilla luonnollisilla luvuilla m, ja n.

Tehtävänä on määrittää sievä ei-rekursiivinen lauseke T:lle ja osoittaa, että T(a, b) on vakio, jos a + b on vakio. 

Simo Kivelä lähetti minulle GeoGebra-tiedoston, jossa hän osoitti, että T:n lauseke on aika yksinkertainen ja T:n arvot pysyvät samoina, kun m + n+ 1 = vakio. Aiemmin olimme huomanneet, että T(a , b) = F(a + b +1).

Kaunosielu kun olen, niin halusin sieventää lausekkeen sievemmäksi. Aloin muokkaamaan Simon lausekkeen e:n potensseja, otin yhteisiä tekijöitä jne. Lopulta sain aika kauniin lausekkeen.

Solussa 14 on T:n lauseke esitettynä kultaisen leikkauksen luvun avulla.

tau = (1+sqrt(5)) / 2

Jätän taas lukijalle todistettavaksi, että kuvan T ja TT  todella ovat Tantonin funktion lausekkeita. Saisiko tuon lausekkeen vieläkin nätimmäksi?

Jälkihuomautus

Kun tutkii alussa näkyvän f(n) :n ja lopun T(m,n):n lausekkeita, niin näkee, että

T(m, n) = f(n + m + 1).

Simo Kivelä kirjoitti aiheesta blogissaan http://simokivela.blogspot.com/2022/11/fibonacci.html

Neljännen asteen pentagrammifunktio

Tämän funktion on käsittääkseni keksinyt norjalainen Harald Totland. Kun pentagrammin kolmen pisteen kautta piirtää neljännen asteen polynomin, niin se kulkee myös pentagrammin kahden muun pisteen kautta.

Piirretään säännöllinen viisikulmio ABCDE, pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Tässä A = (-1 ,0) ja B = (1 , 0). Piirrtetään viisikulmioon pentagrammi ACEBD. Piste F on A:sta ja B:stä lähtevien pentagrammin sivujen/kylkien leikkauspiste. Olkoon P(x) se neljännen asteen polynomi, joka kulkee pisteiden A, B, ja F kautta siten, että kyseisissä pisteissä on polynomin paikalliset ääriarvokohdat kuten kuvassa.

Tällöin seuraavat lauseet ovat totta

  1. Polynomi p kulkee kahden muun pentagrammin pisteen kautta. Kuvan tilanteessa p(pisteen C x-koordinaatti) = Pisteen C y-koordinaatti.
  2. Piste, jossa p:n kuvaaja leikkaa sivun BE on suoraan yhden pentagrammin pisteen alapuolella. Sama pätee p:n ja AC: leikkauspisteelle. Kuvassa Pisteiden H ja G x-koordinaatit ovat yhtä suuret.
  3. Piste H jakaa janan BF kultaisen leikkauksen suhteessa.

Kolmannen lauseen huomasin itse kun tutkiskelin kuvaa.

Jätän polynomin lausekkeen määrittelyn menetelmän keksimisen ja lauseiden todistamisen ilon lukijalle. Tehtävä sopinee hyvin CAS-harjoitukseksi. Tuskin tätä ilman tietokonetta jaksaa ratkaista?

Lähde

Tämä artikkeli on varsinainen runsauden sarvi liittyen 4-asteen polynomeihin ja kultaiseen laikkaukseen.

Thomas Weibull. 4th degree polynomials and the Golden Section.

Fibonaccin sanoja artikkeli julkaistu Dimensiossa

Hannu Korhonen pyysi minua tutkimaan kanssaan Fibonaccin sanoja. Artikkelissa kerrotaan, mitä ne ovat ja miten tuottaa niitä GeoGebralla. Pohdimme artikkelissa myös binäärisistä Fibonaccisanoista muodostettujen lukujen kasvunopeutta.

Päädymme arvaukseen, että kasvu lähestyy suurilla x:n arvoilla arvoa

missä

eli kultaisen leikkauksen luku.

Artikkeli löytyy Dimension verkkosivulta https://www.dimensiolehti.fi/fibonaccin-sanoja/