Fibonaccitulosumman lauseke

[edit. 19.11.22 lisäsin jälkihuomautuksen loppuun ja linkin Simo Kivelän blogiin]

Pari viikkoa sitten kirjoitin minulle uudesta Fibonaccilukuihin liittyvästä totuudesta. Yritin ratkoa sitä eri tavoilla, mutta lausekkeet olivat niin sekavan näköisiä silmissäni, että en uskaltanut alkaa pohtia ratkaisua sen tarkemmin.

Aiheeseen liittyvä artikkeli on täällä https://mikkorahikka.blog/2022/10/27/uusi-fibonaccilukujono-ongelma/

Muistin visrkistykseksi itse ongelma. Jos F(n) on perinteisen Fibonaccilukujonon n:s termi ja Tantonin funktio T(a, b) = F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1), niin T(m, n) on myös Fibonacciluku kaikilla ykköstä suuremmilla luonnollisilla luvuilla m, ja n.

Tehtävänä on määrittää sievä ei-rekursiivinen lauseke T:lle ja osoittaa, että T(a, b) on vakio, jos a + b on vakio. 

Simo Kivelä lähetti minulle GeoGebra-tiedoston, jossa hän osoitti, että T:n lauseke on aika yksinkertainen ja T:n arvot pysyvät samoina, kun m + n+ 1 = vakio. Aiemmin olimme huomanneet, että T(a , b) = F(a + b +1).

Kaunosielu kun olen, niin halusin sieventää lausekkeen sievemmäksi. Aloin muokkaamaan Simon lausekkeen e:n potensseja, otin yhteisiä tekijöitä jne. Lopulta sain aika kauniin lausekkeen.

Solussa 14 on T:n lauseke esitettynä kultaisen leikkauksen luvun avulla.

tau = (1+sqrt(5)) / 2

Jätän taas lukijalle todistettavaksi, että kuvan T ja TT  todella ovat Tantonin funktion lausekkeita. Saisiko tuon lausekkeen vieläkin nätimmäksi?

Jälkihuomautus

Kun tutkii alussa näkyvän f(n) :n ja lopun T(m,n):n lausekkeita, niin näkee, että

T(m, n) = f(n + m + 1).

Simo Kivelä kirjoitti aiheesta blogissaan http://simokivela.blogspot.com/2022/11/fibonacci.html

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d bloggers like this: