MIKKO RAHIKKA

The electrical things have their lives too, paltry as those lives are.

12.11.2026

Pallon ja ympyröiden pinta-alaongelma

Tämä ongelma syntyi siitä, kun huomasin Futility Closetissa hauskan totuuden liittyen pallokalotin ja ympyrän pinta-alaan. Tein GeoGebra 5:llä animaatiot aiheesta, ne löytyvät artikkelin lopussa. Lähteissä on linkki GeoGebra-tiedostoihin. Uskon, että lahjakas yläasteen matemaatikko ratkaisee nämä, kunhan hänellä on käytössä tarpeeksi tietoja vaikkapa taulukkokirjasta.

Kuvan punainen pallo on yksikköpallo, eli sen keskipiste on origossa ja säde on 1. Pallon pinnalla näkyvät pisteet ovat pallon ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteitä. Vihreän ympyrän keskipiste on B ja se kulkee pisteiden G ja F (pallon ja y-akselin leikkauspisteet) kautta. Sinisen ympyrän keskipiste on C ja se kulkee pisteiden E ja D (pallon ja x-akselin leikkauspisteet) kautta.

Kuva kahdesta leikkaavasta ympyrästä ja pallosta,

Ongelma 1. Osoita, että sinisen ja vihreän ympyrän pinta-alojen summa on yhtäsuuri kuin punaisen pallon pinta-ala.

Kuvassa on pallo, jonka keskipiste on O. Valitaan pallon pinnalta pisteet A ja B (joka on ”samalla puolella” palloa kuin piste A). Muodostetaan pallokalotti siten, että sen huippu on pisteessä A ja pohjaympyrä kulkee pisteen B kautta.