Pari pientä kolmio- ja nelikulmiopähkinää

[edit 29.7. Lisäsin luvun 3 janoista, korjasin otsikon.]

Jossain Facebookin tai Twitterin syövereissä oli kolmioiden lukumäärään liittyvä ongelma, jota aloin ratkoa kynän ja paperin avustuksella. Tein siitä oman versioni. Ongelmia sopii pohdiskella kesäloman päättymisen ahdistuksen ohella.

0 helppo ongelma

Tämä taisi olla se versio, jota aloin pähkäilemään. Kuinka monta kolmiota kuviossa on?

Entä kuinka monta nelikulmiota?

1 hieman haastavampi ongelma

Yleistetään tehtävä siten, että merkitään vaakasuunnassa kulkevien janojen (kuvassa ne eivät kulje ihan vaakasuunnassa, mutta ymmärtänet mitä tarkoitan) lukumäärää n:llä, kolmioiden lukumäärää K(n) ja nelikulmioiden lukumäärää N(n).

Kuinka monta kolmiota on kuviossa n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on kuviossa n:n arvolla 10?

Millaisen lukujonon K(1), K(2), K(3), … muodostavat? Määritä K(n).

Millaisen lukujonon N(1), N(2), N(3), … muodostavat? Määritä N(n).

2 vaikeahko ongelma

Muokkasin alkuperäista kuvaa siten, että kolmion ylimmästä kärjestä lähtevien janojen lukumäärä kasvaa.

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 4? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 4?

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 10?

Määritä kolmioiden ja nelikulmioiden lukumäärä n:n funktiona.

3 janat

Kun olin jo julkaissut tämän artikkelin, niin tajusin, että janojen lukumäärä kummassakin tapauksessa on mielenkiintoinen ongelma.

Kuinka monta janaa kummassakin tapauksessa on eri n:n arvoilla?


Seuraavassa tarinassani kerron, miten tuotin oheiset kuviot GeoGebran Jono ja Zip-komennoilla.

Jousiammuntaa – jänteen pituuden mallintamista GeoGebralla – osa 1

Viime syksynä menin Nurmijärven kansalaisopiston ”Perinnejousen valmistus” – kurssille. Kurssilla olen oppinut asiantuntevan opetuksen ansiosta paljon perinnejousista ja jousiammunnasta. Lisäksi olen saanut lähes valmiiksi ensimmäisen jouseni.

Oppilaskollegani Olavi pyysi minua määrittämään jousen jänteen pituuden, kun kaaren pituus nokeista (jänteen kiinnityspisteistä) ja jänneväli tunnetaan. Nyrkkisääntö on, että jänne on noin 5 cm lyhyempi kuin kaari. Minun jalavasta tehdyssä jousessani nokkien välinen etäisyys on 163 cm, kun jousessa ei ole jännettä. Jänteen pituus on 158 cm ja jänneväli on 15 cm.

janamalli

Niinpä päätin alkaa mallintamaan jousta. Yksinkertaisin malli jousesta taitaa olla sellainen, että ajatellaan jousen koostuvan kahdesta janasta, jotka ovat saranalla kiinni keskeltä. Merkitään b:llä kaaren pituutta, d:llä jänneväliä ja p:llä jänteen pituutta.

Pythagoraan lauseella:

Malli on helppo ratkaista, mutta se ei näytä toimivan kovin hyvin minun jousellani. Tätä kahteen janaan perustuvaa mallia voisi parantaa lisäämällä siihen lisää janoja. Kun jousen dynamiikkaa mallinnetaan, niin joissain malleissa kaari mallinnetaan kolmella janalla kuten esimerkiksi Dennyn vääntömallissa. Jätän tämän mallin tutkimisen lukijalle.




Lähde: Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Itä-Suomen yliopisto

Jätänkin jännevälin määrittämisen lukijalle, sillä annoin ongelman oppilailleni ja ratkomme sitä yhdessä lähipäivinä.

ongelma

Luo malli, jonka avulla voi määrittää jousen jänteen pituuden p, kun jousen kaaren pituus b ja jänneväli d tunnetaan. Kaaren pituus saa arvoja välillä 100 cm , … 200 cm ja jänneväli 10 cm, .., 20 cm.

Vihjeenä mallintajalle, että ensin kannattanee valita jokin mukava käyrä, esimerkiksi ympyrän kaari, paraabeli tai ellipsi ja alkaa rakentaa mallia käyttäen samaa käyrää.

Kuvassa on kuva omasta oma jousestani GeoGebrassa ja ympyrän kaari. Ongelman merkinnöillä jana CE = p, kaari CDE = b ja jana DF = d.

Lisää kuvia jousista löytyy vaikkapa lähteiden Ensimmäinen jousi -ohjeessa.

Kerron oman ratkaisuni lähipäivinä, kunhan ensin olemme ratkoneet ongelmaa yhdessä oppilaitteni kanssa.


lähteet

Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Kandidaattitutkielma, Itä-Suomen yliopisto. https://luma.uef.fi/wp-content/uploads/sites/11/2018/03/Jousiammunnan-fysiikka.pdf

Ensimmäinen jousi -ohje Puujousi sivustolla, http://puujousi.fi/ensimmainenjousi.html

Kiva ympyräongelma

Jossain Twitterissä viime viikolla oli kiva geometrian ongelma. Tätä kirjoitettaessa en enää löytänyt lähdettä :o(

Samasta keskipisteestä piirretään kolme ympyrää joiden säteet ovat 1, 2 ja 3. Tasasivuisen kolmion kärjet ovat näillä ympyröillä. Määritä kolmion sivun pituus.

Olen pohtinut ongelmaa moneltakin suunnalta, mutta en löytänyt sille ”kaunista” geometristä ratkaisua, ellen tehnyt olettamaa, että tietyt kaksi kulmaa ovat yhtä suuret. En vain pysty perustelemaan miksi ne ovat yhtä suuria.

No oli sitten pakko tehdä kolmen tuntemattoman ja kolmen yhtälön trigonometrisiä funktioita sisältävä yhtälöryhmä. Se tuotti lopulta GeoGebran avulla sievennettynä kahdeksannen asteen yhtälön, joka tuotti ratkaisuksi siistin tarkan arvon, jossa esiintyy nurmijärveläinen luku.

Onkohan tähän olemassa jotain nättiä geometrista ratkaisua?

[edit. 16.3. korjasin tasakylkisen tasasivuiseksi]