Monikulmioympyrät

Innostuin näistä geometrisista kuvioista, kun näin niitä georgialaisen Pridon Davlianidzen postauksissa Facebookin Geomath-ryhmässä. Hän on julkaissut suuren määrän matemaattisia taideteoksia. Ne perustuvat symmetrisiin kuvioihin, jotka tuotetaan säännöllisistä monikulmioista.

Luon pisteet A ja B. Niiden avulla muodostan säännöllisen viisikulmion BACDE, GeoGebrassa valitaan säännöllinen monikulmiotyökalu ja valitaan pisteet B ja A tässä järjestyksessä. Seuraavaksi käytän pisteitä D ja C ja luon niiden avulla säännöllisen viisikulmion DCFGH. Jatkan laatoitusta samalla tapaa 10 viisikulmion saakka. Syntyy kuvio, jota kutsun nimellä säännöllinen monikulmioympyrä. Jos joku keksii tällaisille olioille fiksumman nimen, niin kertokoon minulle.

Toki kolmioilla ja neliöilläkin saa aikaan säännölliset monikulmioympyrät, mutta niiden sisään ei muodostu ”reikää”.

Säännöllisillä 6-kulmioilla saadaan kaksi monikulmioympyrää.

Säännöllisillä 7-kulmioilla saadaan tällä menetelmällä yksi ympyrä, jossa on 14 säännöllistä 7-kulmiota.

Tehtäviä

Tässä vaiheessa herää joitakin kysymyksiä.

Tehtävä 1. Voiko kaikilla säännöllisillä n-kulmioilla tuottaa säännöllisiä monikulmioympyröitä?

Tehtävä 2. Millä n:n arvoilla saadaan aikaiseksi erilaisia säännöllisiä monikulmioympyröitä, esimerkiksi kun n = 6 voidaan tehdä kaksi erilaista monikulmioympyrää, mutta kun n on 3, 4, 5 tai 7, niin vain yksi.

Tehtävä 3. Mitä jos käytetään kahta erilaista säännöllistä monikulmiota, kuten kuvassa. Voiko kaikilla sellaisilla laatoilla, jotka on luotu kahdesta säännöllisestä monitahokkaasta luoda ympyrän?

Tehtävä 4. Todista, että

\sum_{i=0}^{n-1}\sin\left(\frac{i\cdot2\pi}{n}\right)=0

käyttämättä apuna CAS-laskimia. Tee sama myös kosinille.

tarkempi määrittely ongelmalle

Merkitään monikulmiot siten, että niiden luomisen järjestysluku laitetaan yläindeksiin, esimerkiksi kolmas monikulmio on A³. Vastaavasti monikulmion pisteet numeroidaan alaindekseihin.

Todistettava lause
Olkoon

säännöllinen n-kulmio. Luodaan uusi säännöllinen monikulmio

Jatketaan näin eli uusi säännöllinen monikulmio koostuu pisteistä

A^{p+1}=A_m^pA_{m-1}^p\ A_3^{p+1}...\ A_{n-1}^{p+1}

Tällöin jokaista lukua n (>2) vastaa ainakin yksi luku m ≤ (n+1)/2 siten, että kun laatoitusta jatketaan r kertaa , niin monikulmiot muodostavat suljetun ”ympyrän”. Monikulmioilla ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin yhteiset sivut. Tällöin

eli

\begin{cases}
A_3^r&=A_0^1\\
A_2^r&=A_2^1
\end{cases}

Esimerkiksi kun n = 5, niin m = 3 ja r = 10.

Olipa haastavaa kirjoittaa tuo yleinen lause, saisikohan sen jotenkin fiksummin ilmaistua?

Tuotin osan kuvista GeoGebralla ja loput Pythonin kilpikonnagrafiikalla. Julkaisen koodini lähipäivinä, kunhan olen siivonnut koodini.

Lähteet

Geomath-ryhmä Facebookissa
https://www.facebook.com/groups/2224201757729993/?multi_permalinks=2563768697106629&notif_id=1677585820634466&notif_t=group_activity&ref=notif

29 heinäkuun, 202129 heinäkuun, 2021

Pari pientä kolmio- ja nelikulmiopähkinää

[edit 29.7. Lisäsin luvun 3 janoista, korjasin otsikon.]

Jossain Facebookin tai Twitterin syövereissä oli kolmioiden lukumäärään liittyvä ongelma, jota aloin ratkoa kynän ja paperin avustuksella. Tein siitä oman versioni. Ongelmia sopii pohdiskella kesäloman päättymisen ahdistuksen ohella.

0 helppo ongelma

Tämä taisi olla se versio, jota aloin pähkäilemään. Kuinka monta kolmiota kuviossa on?

Entä kuinka monta nelikulmiota?

1 hieman haastavampi ongelma

Yleistetään tehtävä siten, että merkitään vaakasuunnassa kulkevien janojen (kuvassa ne eivät kulje ihan vaakasuunnassa, mutta ymmärtänet mitä tarkoitan) lukumäärää n:llä, kolmioiden lukumäärää K(n) ja nelikulmioiden lukumäärää N(n).

Kuinka monta kolmiota on kuviossa n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on kuviossa n:n arvolla 10?

Millaisen lukujonon K(1), K(2), K(3), … muodostavat? Määritä K(n).

Millaisen lukujonon N(1), N(2), N(3), … muodostavat? Määritä N(n).

2 vaikeahko ongelma

Muokkasin alkuperäista kuvaa siten, että kolmion ylimmästä kärjestä lähtevien janojen lukumäärä kasvaa.

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 4? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 4?

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 10?

Määritä kolmioiden ja nelikulmioiden lukumäärä n:n funktiona.

3 janat

Kun olin jo julkaissut tämän artikkelin, niin tajusin, että janojen lukumäärä kummassakin tapauksessa on mielenkiintoinen ongelma.

Kuinka monta janaa kummassakin tapauksessa on eri n:n arvoilla?

Seuraavassa tarinassani kerron, miten tuotin oheiset kuviot GeoGebran Jono ja Zip-komennoilla.

4 maaliskuun, 20204 maaliskuun, 2020

Jousiammuntaa – jänteen pituuden mallintamista GeoGebralla – osa 1

Viime syksynä menin Nurmijärven kansalaisopiston ”Perinnejousen valmistus” – kurssille. Kurssilla olen oppinut asiantuntevan opetuksen ansiosta paljon perinnejousista ja jousiammunnasta. Lisäksi olen saanut lähes valmiiksi ensimmäisen jouseni.

Oppilaskollegani Olavi pyysi minua määrittämään jousen jänteen pituuden, kun kaaren pituus nokeista (jänteen kiinnityspisteistä) ja jänneväli tunnetaan. Nyrkkisääntö on, että jänne on noin 5 cm lyhyempi kuin kaari. Minun jalavasta tehdyssä jousessani nokkien välinen etäisyys on 163 cm, kun jousessa ei ole jännettä. Jänteen pituus on 158 cm ja jänneväli on 15 cm.

janamalli

Niinpä päätin alkaa mallintamaan jousta. Yksinkertaisin malli jousesta taitaa olla sellainen, että ajatellaan jousen koostuvan kahdesta janasta, jotka ovat saranalla kiinni keskeltä. Merkitään b:llä kaaren pituutta, d:llä jänneväliä ja p:llä jänteen pituutta.

Pythagoraan lauseella:

Malli on helppo ratkaista, mutta se ei näytä toimivan kovin hyvin minun jousellani. Tätä kahteen janaan perustuvaa mallia voisi parantaa lisäämällä siihen lisää janoja. Kun jousen dynamiikkaa mallinnetaan, niin joissain malleissa kaari mallinnetaan kolmella janalla kuten esimerkiksi Dennyn vääntömallissa. Jätän tämän mallin tutkimisen lukijalle.

Lähde: Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Itä-Suomen yliopisto

Jätänkin jännevälin määrittämisen lukijalle, sillä annoin ongelman oppilailleni ja ratkomme sitä yhdessä lähipäivinä.

ongelma

Luo malli, jonka avulla voi määrittää jousen jänteen pituuden p, kun jousen kaaren pituus b ja jänneväli d tunnetaan. Kaaren pituus saa arvoja välillä 100 cm , … 200 cm ja jänneväli 10 cm, .., 20 cm.

Vihjeenä mallintajalle, että ensin kannattanee valita jokin mukava käyrä, esimerkiksi ympyrän kaari, paraabeli tai ellipsi ja alkaa rakentaa mallia käyttäen samaa käyrää.

Kuvassa on kuva omasta oma jousestani GeoGebrassa ja ympyrän kaari. Ongelman merkinnöillä jana CE = p, kaari CDE = b ja jana DF = d.

Lisää kuvia jousista löytyy vaikkapa lähteiden Ensimmäinen jousi -ohjeessa.

Kerron oman ratkaisuni lähipäivinä, kunhan ensin olemme ratkoneet ongelmaa yhdessä oppilaitteni kanssa.

lähteet

Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Kandidaattitutkielma, Itä-Suomen yliopisto. https://luma.uef.fi/wp-content/uploads/sites/11/2018/03/Jousiammunnan-fysiikka.pdf

Ensimmäinen jousi -ohje Puujousi sivustolla, http://puujousi.fi/ensimmainenjousi.html