Laskiaisongelma liukumäet

[edit 20.2.23. Korjasin sykloidin ajan. ]

Etelä-Suomen hiihtoloman ja laskiaisen ajanvietteeksi sopii seuraava liukumiseen liittyvä ongelma. Tämä sopii hyvin hernekeiton ja laskiaispullan sulatteluun. Mikä on nopein reitti liukua pisteestä toiseen, jos liukumäen profiili on muotoa y = xn, missä n saa arvoja 1, 2, … ?

Idea tähän tehtävään löytyi jostain somejulkaisusta, jonka unohdin tallentaa. Tehtävä jäi vaivaamaan mieltäni ja niinpä pienen Googletuksen avulla pystyin luomaan mallit, joilla laskea liukuajat numeerisen integroinnin avulla. Tämän ongelman mäki on kooltaa aika pieni. Jos et mahdu itse laskemaan siihen, niin kuvittele olevasi pienempi.

Tehtävä 1. Liu’utaan kitkatta pisteestä (1 m, 1 m) pisteeseen (0 m, 0 m) ja muitakaan vastustavia voimia ei ole kiusaamassa laskentoamme. Mikä on nopein reitti, jos reitti on muodoltaan on funktio f(x) = xn, missä n on positiivinen luonnollinen luku. Tietysti lasku tapahtuu Maan pinnalla, paikassa jossa putoamiskiihtyvyys on 9.8100 m/s2.

Tehtävä 2. Kummalla reitillä liukuaika on lyhyempi, mennään pisteestä (1 m, 1 m) paraabelin y = x2 kaarella origoon vai kun liu’utaan origosta pisteeseen (1 m, -1m) neliöjuurikäyrää y = -x1/2?

Tehtävä 3. Jos lasketaan mäkeä origosta pisteeseen (1 m, -1 m) ja tutkitaan funktioita -xn, n on positiivinen reaaliluku, niin millä n:n arvolla liukuaika on lyhin? Ja taas mennään ilman kitkaa ja ilmanvastusta.

Tarinan lopussa on pari linkkiä, joiden avulla laskin numeeriset integraalini.

Pienimmäksi liukuajaksi potenssifunktiolla  xm sain Pythonin Scipyllä (0.59428023847 ± 1.3e-10) s. Jätän lukijan tutkittavaksi, mikä tuon m:n arvo on. (GeoGebran numeerinen integraatio antoi tulokseksi 0.5942801888918.)

Tietysti tarkistuksen vuoksi piti laskea myös muilla käyrillä. Sykloidilla sain GeoGebran numeerisella integroinnilla tulokseksi 0.5828954631542 s. Pythonin Scipy.integrate-kirjaston numeerisen integraalin laskeva quad-funktio tuotti arvoksi ja virheeksi (0.5828954631542245 ± 2 e-14) s. Wolfram Alphalla sain tulokseksi 0.587563 s.

Ympyrän (säde = 1 m) kaarella ajaksi tuli 0.5919604868957612 s.

Laitan omien laskujeni tulokset ja koodit näytille lähipäivinä.

Lähteitä

Brakistokroni Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Brakistokroni

Cantor’ Paradise: Introduction to the Brachistochrone Problem — Finding the Time to Slide Along a Path
https://www.cantorsparadise.com/introduction-to-the-brachistochrone-problem-finding-the-time-to-slide-along-a-path-c2a7b3029e1b

scipython.com: The Brachistochrone problem
https://scipython.com/blog/the-brachistochrone-problem/

Advertisement

Heittoliike hyppyristä eri planeetoilla

Tällainen löytyi Fermat’s Libraryn Twitter-feedistä. En omasta mielestäni ennen ole huomannut tällaista ilmiötä.  Kuvan heittoliikkeen tilanteessa kappaleen lentorata ja tietysti samalla kantama ovat riippumattomia g:stä. Niinpä radat ovat samanlaiset eri planeetoillakin. Tämä ongelma sopinee lukiofyysikoille tai ainakin fysiikan opettajille. Varsinkin CASin avustuksella ongelma ratkeaa muutamalla rivillä.

Annetaan kappaleen liukua kitkatta korkeudelta h hyppyrimäkeä pitkin. Kappale irtoaa hyppyristä siten nopeuden suuntakulma on α.

Osoita, että heittoliikkeen kantama k on riippumaton g:n arvosta (g > 0). Osoita myös, kappaleen ratakäyrän yhtälö on riippumaton g:n arvosta (g > 0). Eli molemmissa tapauksissa  lausekkeessa on parametreina vain korkeus h ja kulma α.

Pohdi mitä oletuksia pitää olla voimassa, että tulos pätee eri planeetoilla. 

Miten tilanne muuttuu, jos heittoliike tehdään avaruusaluksessa, jolla on vakiokiihtyvyys a?

Muuttuuko tilanne, jos heittoliike toteutetaan avaruudessa sijaitsevalla avaruusasemalla, jossa keinotekoinen painovoima on tuotettu pyörimisliikkeen avulla?

Kuva Wikipediasta https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Von_Braun_1952_Space_Station_Concept_9132079_original.jpg

Lähde

Fermat’s Library Twitterissä
https://twitter.com/fermatslibrary/status/1612818297149341697?s=43&t=MJNjoG63Cn_tzwQqBpShFg

Wien tiedehenkilöitä – Gödel, Freud, Schrödinger, Popper, Meitner ja Boltzmann 

Pari viikkoa sitten vierailimme Wienissä. Aika pömpöösi kaupunki. Kävin kuvailemassa paikkoja, jotka liittyvä muutamiin paikallisiin henkilöihin. Wittgensteiniin liittyvät kohteet menivät ohi ja pari Gödel-kohdetta + Boltzmannin hautamuistomerkki jää seuraavaan kertaan.

Modernin taiteen museossa mumokissa oli Willi Kopfin pieni veistos ”Form”, jossa pallo on jaettu mielenkiintoisella tavalla. Pitänee tehdä tästä oma GeoGebra-versio joskus. Tuosta tuli myös ajatus jatkaa tuota jakoa eteenpäin.

Hotellissamme (Graben Hotel) oli asunut joskus näköjään joku kirjailijakin.  Kulttuurihistoriallinen museo oli upea ja myös pömpöösi (kenenköhän selkänahasta nämäkin talot/palatsit on tehty). Upeita maalauksia menneisyydestä. Brueghelin ”Babelin torni” oli tietysti nähtävä, minua eniten ihastutti ”Lasten leikit”. Lukijan tehtäväksi jää laskea kuinka monta lasta kuvassa on ja mitä leikkejä he leikkivät.

Kesällä 1930 Kurt Gödel loi todistuksen mielestäni kaikkein kauneimmalle matematiikan totuudelle. Elokuun 26. päivänä hän kertoi lauseesta ystävilleen Cafe Reichsratissa, nykyisin Sluka-kahvila. Seuraavana vuonna ihmiskunnalle julkaistiin ”Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”. 

Kaupungilla kulkiessa sattui joskus silmiin talojen seinissä ja kaduissa muistolaattoja, jossa kerrottiin juutalaisten karmeasta kohtalosta tässäkin kaupungissa tapahtuneista kauheuksista toisen maailmansodan aikana.

Freudin koti/museo oli hieno, siellä oli myös aiheeseen liittyvä pieni surrealistisen taiteen museo. Jonkun verran piti kävellä, että löysimme Schrödingerin kotitalon. Siellä on varmaankin syntynyt ajatuksia kvanttimekaniikasta ja sen tulkinnoista. Onkohan siellä vielä tänäkin päivänä eläviä ja/tai kuolleita kissoja?

Wienin yliopiston sisäpihaa ympäröi käytävä, jossa on patsaita menneistä merkkihenkilöistä. Sieltä löytyi päitä: Freud, Schrödinger, Popper, Meitner (tupakka on sensuroitu) ja Boltzmann. Minusta mielenkiintoista on, että Lise Meitner (uraanin halkeamisen keksijä, kokeellinen fyysikko, ) ja Schrödinger (kvanttimekaniikan kehittäjä, teoreetikko) ovat vastakkaisilla puolella käytävää.

Cafe Sacherin aamupala oli kallis ja Sacherkakku kuiva, toki Egg Benedicte oli upea. Beldevere oli pömpöösi ja Klimtin ”Suudelma” kaunis. Klassinen musiikki pienessä salissa, jossa Mozartkin on soittanut, oli upea kokemus. Akustinen livemusiikki on OK.

Kaikki kuvat tähän tarinaan liittyen.