Mielenkiintoinen lause heittoliikkeestä

GeoGebra Materiaaleihin ilmestyi lokakuun lopussa Kari Peisan tekemä appi liittyen vinoon heittoliikkeeseen. En ole itse aiemmin törmännyt tähän teoreemaan/lauseeseen/väitteeseen, mutta ainakin minua se kummastuttaa kummasti. Pakkohan tätä on tutkia. Karin mukaan ongelma on esitetty alun perin eräässä Facebook-ryhmässä.

GeoGebra appissa ”Pisimmän heittoliikkeen alku- ja loppunopeus” https://www.geogebra.org/m/hgujahsm on seuraava väite.

Oheisessa kuvassa asetin h:n arvoksi 4 ja v:n arvoksi 10. Liu’un alfa avulla säädin kantaman mahdollisimman suureksi. Vaikuttaa siltä, että väite pitää ainakin likiarvoisesti paikkansa. Kokeilemalla eri korkeuksilla ja alkunopeuksilla alkaa vaikuttaa, että väite on luultavasti totta.

Päätinpä yrittää ”todistaa” lausetta kokeilemalla joillain lähtöarvoilla. Valitsin alkunopeudeksi 5 (m/s) ja lähtökorkeudeksi 13. Putoamiskiihtyvyys on 9.81 m/s2. 

Ratkaisun juoni on yksinkertainen. Määritetään kantaman lauseke kulman funktiona. Ratkaistaan kantaman derivaatan nollakohta, näin saadaan kulma, jolla kantama on suurin. Kyseisen kulman avulla lasketaan lentoaika ja sen avulla nopeuden komponentit kyseisellä ajan hetkellä. Alla kuvankaappauksia ja selityksiä ”todistukseen”.

rivi 1: kantamayhtälö

rivi 2: RA on yhtälön ratkaisulista

rivi 3: aika on suurempi ratkaisuista

rivi 4: kantama kulman funktiona

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuvaajassa kantama kulman funktiona. Kulma yksiköissä radiaani.

rivit 5-8: Kantaman derivaatan nollakohta, minua kiinnostaa vain tuo ensimmäinen eli maksimikohta.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

rivi 9: tt on lentoaika.

rivit 10–11: loppunopeuden komponentit

rivi 12: nopeuden suunta lopussa radiaaneina

rivit 13 ja 14: Alku- ja loppunopeusvektoreiden välinen kulma

Vaikuttaa siltä, että Lause pitää paikkansa.

Kun aloin kokeilla yleistä todistusta, niin törmäsin hankaluuksiin tuossa rivin 6 yhtälön ratkaisussa. Siitä taitaa tulla kuudennen asteen yhtälö sin(α):n suhteen. Pitääpä tutkia, miten saan lauseen todistettua yleisesti. 

Tai sitten jätän sen tehtäväksi sinulle arvoisa lukija.

OMG-hiukkanen – GeoGebran Lukuarvona-komento

Luin Wikipedia-artikkelin OMG-hiukkasesta. Siinä kerrottiin, että: ”OMG-hiukkanen eli Oh-My-God-hiukkanen on lempinimi kosmiselle hiukkaselle, joka havaittiin 15. lokakuuta 1991 Fly’s Eye -ilmaisimella Dugway Proving Groundsissa, Utahissa. Hiukkanen oli atomia pienempi, mutta sen liike-energia oli yhtä suuri kuin 25 m/s (90 km/h) liikkuvalla pesäpallolla (160 g): noin 3 × 1020 elektronivolttia eli suunnilleen 50 joulea. Hiukkanen oli luultavasti lähes valonnopeudella kulkeva protoni. Mikäli se oli protoni, sen nopeus oli noin (1 − (5 × 10−24)) c. Jos tällä nopeudella liikkuva hiukkanen lähtisi liikkeelle yhtä aikaa fotonin kanssa, vuoden kuluttua se olisi vain 46 nanometriä fotonia jäljessä.” 

Myös useammassa muussa artikkelissa kerrotaan nopeudeksi v = 0.9999999999999999999999951 c

tai että c – v ≈ 5·10-15 m/s. Pakkohan se on minunkin laskea, varsinkin kun GeoGebra laskee likiarvoilla vain 15 merkitsevällä numerolla. Lasken varmuuden vuoksi saman laskun myösWolframAlphalla ja Pythonilla.

Ratkaisu GeoGebralla

Lasketaan nopeus käyttämällä Suppeaa suhteellisuusteoriaa ja protonin kokonaisenergiana arvoa 51 J, lukuarvo löytyy englanninkielisestä Wikipedia-artikkelista.

MAOL-taulukkokirjasta löytyvät tarvittavat kaavat.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Kirjoitetaan yhtälö GeoGebran CASiin, ratkaistaan nopeus v ja sijoitetaan arvot. Käytän Ratkaisut-komentoa, jotta saan ratkaisuksi listan, jossa on vain v:n lausekkeet, niitä on mukavampi käsitellä. Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Nopeudeksi saadaan tasan 300000000 m/s. Vaikka GeoGebran asetuksista muuttaa tarkkuuden 15 merkitseväksi numeroksi, niin nopeuden arvo ei muutu.

Jotta lausekkeen arvo lasketaan suuremmalla tarkkuudella, niin tarvitaan Lukuarvona-komentoa. Sen toiseksi syötteeksi voi laittaa halutun tarkkuuden.

Rivillä 6 on sijoituksen tulos, kun käytin Sijoita työkalua ja valitsin Sijoita painikkeen

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Tässä on hyvä hetki muistuttaa bugista, joka on vaivannut GeoGebraa jo jonkin aikaan. Ainakin GeoGebran versionumerossa 666 oli vielä vika, jossa sijoita-työkalun Sijoita-painikkeen painaminen aiheutti virheellisiä tuloksia, kun sijoitetut luvut oli esitetty 3E8-tyyppisesti. Tätä vikaa ei enää ole lokakuun 21 GeoGebran 672-versioissa. Alla 666-version virheellinen sijoitus.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Lasketaan vielä, kuinka paljon saatu tulos poikkeaa valonnopeudesta muutamalla eri tavalla.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Laskun olisi voinut suorittaa ilman Sijoita-työkalua käyttämällä Sijoita-komentoa.
Sijoita( <Lauseke>, <Korvauslista>)

WolframAlpha ja Python

WolframAlpha on siitä mukava, että se laskee oletuksena isolla tarkkuudella. Tässä syötän luvut uudella MATH INPUT-menetelmällä.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

WoframAlphan tulos hieman enemmillä desimaaleilla. 2.99999999999999999999998697226643598615916955014472340698701… × 10^8

Pythonissa tulee vastaan samankaltainen laskentatarkkuusongelma kuin GeoGebrassakin. Alla Colabista kaapattuja kuvia.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Pythonin saa laskemaan mielivaltaisella tarkkuudella vaikkapa mp-math-kirjaston avulla.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Pari linkkiä

Wikipedia

https://fi.wikipedia.org/wiki/OMG-hiukkanen

https://en.wikipedia.org/wiki/Oh-My-God_particle

John Walkerin artikkeli vuodelta 1994

https://www.fourmilab.ch/documents/OhMyGodParticle/

Yhtälöryhmän ratkaiseminen taulukkolaskennolla ja GeoGebralla

Törmäsin vanhaan tiedostooni vuodelta 2004, siinä oli ratkaistu hankalan vastussysteemin resistanssi käyttäen taulukkolaskentaa. Tiedosto oli alun perin tehty Excelissä ja nytpä se ei enää toiminut oikein. Arvelen, että alun perin olin tehnyt tämän viime vuosituhannella. Päätinpä tehdä yhtälöryhmän ratkaisun uudelleen käyttäen matriisifunktioita.

Esitän menetelmän Google Sheetsissä, menetelmä toimii samalla tavoin Excelissä ja LibreOfficen Calcissa. Lopuksi teen saman GeoGebralla matriisikomennoilla.

resistanssiongelma

Ongelma on oheisessa kuvassa. Pitää ratkaista kyseisen vastussysteemin resistanssi pisteiden A ja B välillä. Muistaakseni ongelma oli alkuperäisessä muodossa sellainen, että kaikkien vastusten resistanssi oli 1 Ω. Sen ratkaiseminen onnistunee lahjakkaalta fyysikolta pelkästään katsomalla tuota kytkentäkaaviota :o)

ratkaisu Kirchoffin laeilla

Itse en ainakaan keksi mitään simppeliä kaavaa resistanssin laskemiseksi. Tehdään Kirchoffin lakien avulla yhtälöt eri osissa kulkevista virroista, ratkaistaan niiden suuruudet ja käytetään sitä tietoa kokonaisresistanssin laskemiseen.

Merkitään 1 Ω:n vastuksen läpi kulkeva virtaa I1:llä, 2 Ω:n läpi kulkeva virtaa I2:lla, jne. Virtojen suunta on vasemmalta oikealle. Kuvitellaan, että pisteiden A ja B välillä jännite U = 10 V:n. Näin saadaan Kirchoffin lakien avulla helposti viisi yhtälöä

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Kokonaisresistanssi R tulee olemaan 

Kuva, joka sisältää kohteen teksti, kello

Kuvaus luotu automaattisesti

ratkaisu Google Sheetsillä

Laitan Google Sheetsiin resistanssit soluihin B6:B10 ja jännitteen soluuun B12.

Yhtälöryhmän kertoimet ovat soluissa A17:F21. Laitan ne soluihin viittauksena R:n ja U:n arvoihin, eli solussa A17 on =-B6, solussa C17 on =B8 jne.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti, kello

Kuvaus luotu automaattisesti

Näytä-valikon Näytä kaavat-komennolla kaavat saa näkyviin ja tietysti takaisin näkyville kuten näissä kuvissa.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti, kello

Kuvaus luotu automaattisesti

Soluun A25 lasketaan kerroinmatriisin determinantti komennolla

=MDETERM(A17:E21)

Mikäli determinantti on nollasta poikkeava, niin yhtälöryhmällä on ratkaisu.

Ratkaistaan virtojen arvot soluihin A28:E28. Kirjoitetaan soluun A28 komento

=TRANSPOSE(MMULT(MINVERSE(A17:E21);F17:F21))

Suomenkielisessä Excelissä ja LibreOfficessa tuo rivi pitäisi kirjoittaa muodossa

=TRANSPONOI(MKERRO(MKÄÄNTEINEN(A17:E21);F17:F21))

Kaavassa lasketaan kerroinmatriisin käänteismatriisin ja vakiotermivektorin tulo ja käännetään se vaakasuuntaan.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Kokonaisresistanssi lasketaan soluihin A31 ja A32

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Tätä kirjoittaessa löysin vanhemman version alkuperäisestä Excel-tiedostosta, se toimi moitteettomasti. Siinä solun A28 ratkaisu oli tehty LINREGR-funktiolla

=LINREGR(F17:F21;A17:E21;EPÄTOSI;EPÄTOSI)

GeoGebran CAS 6×6 yhtälöryhmä

GeoGebran CAS:issa ongelma olisi ratkennut vaikkapa seuraavasti.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Solun 7 ratkaisu kertoo, että kokonaisresistanssi R on riippumaton U:sta niin kuin pitääkin.

Solussa 8 on sijoitus

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Lasketaan samalla kuinka suuri kokonaisresistanssi olisi, jos kaikkien vastusten resistanssi olisi 1.

Nyt kun tietää ratkaisun, niin saattaa olla helpompaa nähdä miksi näin käy tuijottamalla pelkästään kytkentäkaaviota.

GeoGebran matriisikomennot

Edellistä CAS-versiota tehdessä oli aika työlästä kirjoittaa yhtälöitä muuttujineen, mitäpä jos halutaan tehdä  GeoGebralla saman tapainen matriisityylinen ratkaisu kuin Google Sheetsissä.

Kopioidaan Sheetsratkaisusta alkuperäinen matriisi ja sijoitetaan se GeoGebran taulukkolaskentaan alueelle A2:F6. Valitaan alue A2:E2 eli ensimmäisen yhtälön kertoimet ja hiiren oikealla painikkeella valitaan Luo → Lista.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Luodaan samalla tavalla muiden yhtälöiden kertoimista listat l2, l3, l4 ja l5 sekä vakiotermeistä lista l6.

Kuva, joka sisältää kohteen nuoli

Kuvaus luotu automaattisesti

Muodostetaan kerroinlistoista matriisi kirjoittamalla CAS:iin

M:={l1, l2, l3, l4, l5}

Dererminantin arvoksi saadaan 157 komennolla

Determinantti(M)

Annetaan yhtälöryhmän ratkaisun nimeksi Ra ja ratkaistaan se näppäilemällä 

Ra:=M^-1*l6

Kokonaisresistanssi saadaan käyttämällä vakiotermilistan viidettä ja  ratkaisulistan Ra ensimmäistä ja kolmatta jäsentä.

R=l6(5)/(Ra(1)+Ra(3))
Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

linkit

Google Sheets-tiedosto https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aW1ZqA-rO2MnbvGXrVf9V8fZVz_58nVNwzjC-jEqWko/edit?usp=sharing

GeoGebra-tiedosto yhtälöryhmänä https://www.geogebra.org/m/zhjndgt7

Vaikuttaa siltä, että alla olevat ei avaudu geogebra.orgissa ja Classic 6:lla. Jos haluat tiedoston omalle koneellesi, niin klikkaa tuota linkkiä ja oikeasta yläkulmasta kolmen pisteetn takaa Tietoa ja Lataa koneellesi

GeoGebra-tiedosto matriisikomentoratkaisuun https://www.geogebra.org/m/jqgmknb7