Pari pientä kolmio- ja nelikulmiopähkinää

[edit 29.7. Lisäsin luvun 3 janoista, korjasin otsikon.]

Jossain Facebookin tai Twitterin syövereissä oli kolmioiden lukumäärään liittyvä ongelma, jota aloin ratkoa kynän ja paperin avustuksella. Tein siitä oman versioni. Ongelmia sopii pohdiskella kesäloman päättymisen ahdistuksen ohella.

0 helppo ongelma

Tämä taisi olla se versio, jota aloin pähkäilemään. Kuinka monta kolmiota kuviossa on?

Entä kuinka monta nelikulmiota?

1 hieman haastavampi ongelma

Yleistetään tehtävä siten, että merkitään vaakasuunnassa kulkevien janojen (kuvassa ne eivät kulje ihan vaakasuunnassa, mutta ymmärtänet mitä tarkoitan) lukumäärää n:llä, kolmioiden lukumäärää K(n) ja nelikulmioiden lukumäärää N(n).

Kuinka monta kolmiota on kuviossa n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on kuviossa n:n arvolla 10?

Millaisen lukujonon K(1), K(2), K(3), … muodostavat? Määritä K(n).

Millaisen lukujonon N(1), N(2), N(3), … muodostavat? Määritä N(n).

2 vaikeahko ongelma

Muokkasin alkuperäista kuvaa siten, että kolmion ylimmästä kärjestä lähtevien janojen lukumäärä kasvaa.

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 4? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 4?

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 10?

Määritä kolmioiden ja nelikulmioiden lukumäärä n:n funktiona.

3 janat

Kun olin jo julkaissut tämän artikkelin, niin tajusin, että janojen lukumäärä kummassakin tapauksessa on mielenkiintoinen ongelma.

Kuinka monta janaa kummassakin tapauksessa on eri n:n arvoilla?


Seuraavassa tarinassani kerron, miten tuotin oheiset kuviot GeoGebran Jono ja Zip-komennoilla.

Munaongelma

Julkaisin tämän noin 2012 rikki menneessä blogissani. Jaan tämän oppilailleni, jotta he saavat ajankulua.

Laitat kattilaan vettä ja pari munaa. Lisäät sinne yhden munan. Vedenpinta nousee. Mikä olisi pienin määrä vettä, jotta viimeisen munan lisäyksen jälkeen munat jäävät kokonaan veden alle.

Ongelma 1. Oletetaan, että kananmunat ovat pallon muotoisia ja niiden säde on r. Kattila on lieriö, jonka pohjan säde on R. Jos munia on n kappaletta (esim. 2), niin kuinka korkealla veden pitää olla (x), jotta kun n+1:s (esim. 3.) muna laitetaan veteen, niin kaikki munat peittyvät. Oletetaan, että kaikki munat mahtuvat kattilaan siten, että niiden pohja osuu kattilan pohjaan.

Ongelma 2. Laitat munan (säde r) kattilaan (säde R). Lisäät sinne vettä tilavuuden x. Määritä veden korkeus h(x) tilavuuden x funktiona. Tai toisinpäin tiavuus V(h) korkeuden h funktiona.

Fyysikko tietysti laittaa munat ensin kattilaan ja lisää sitten veden. Matemaatikko tekee tästä laskettavan ongelman :o)

Juna-ongelman perinteinen ratkaisu

Esitin ongelman artikkelissa Metropallo-ongelma En laita tehtävän antoa tänne näkyville. Niinpä oppilaillani on hieman vaikeampi löytää tätä ratkaisua.

Ratkaisu

Tässä ongelman perinteinen säilymislakeihin ja yhtälön ratkaisuun perustuva ratkaisu.

Oletetaan, että junan massa on M ja pallon massa m. Junan nopeus on V ja pallon -v. Tutkitaan aluksi täysin kimmoisaa yksiulotteista törmäystä. Junan nopeus törmäyksen jälkeen on U ja pallon u.

Kirjoitan ratkaisun GeoGebra 5:n (5.0.570) CAS:iin. Huomaa, että välilyönti muuttujien välissä tarkoittaa kertolaskua.

Liikemäärän ja liike-energian säilymislait tuottavat yhtälöt:

M V – m v = M U + m u
1/2 M V^2 +1/2 m v^2 =1/2 M U^2 +1/2 m U^2

U ja u saadaan ratkaistua komennolla

Ratkaise({$1,$2}, {U, u})
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Ratkaisuisiksi tulee kaksi (U, u) arvoa. Ensimmäinen ratkaisu tarkoittaa sitä tilannetta, että pallo menee junan läpi, tällöinkin liikemäärä ja liike-energia säilyvät. Toinen tapaus on realistisempi, se saadaan irti listasta komennolla

Alkio($3,2)

Oletetaan, että junan massa on suuri, vaikkapa 10000 kg ja pallon massa pieni, vaikkapa 0.1 kg. Sijoitetaan arvot Sijoita työkalulla.

Alla Sijoita-työkalun Ikkuna.

Vaikuttaa siltä, että tässä tapauksessa pallon nopeus noin viisinkertaistui eli on lähellä arvoa 25 km/h.

Kuvaaja

Tämä luku on tässä sen takia, että satuin leikkimään kuvaajilla raja-arvoa etsiessäni ja tuo suora ja ellipsi juolahtivat mieleeni.

Kun alkuperäistä yhtälöparia katsoo syvällisemmin ja muuttaa U:n x:ksi ja u:n yksi, niin havaitsee, että liikemäärän säilymislaki tuottaa suoran ja liike-energian yhtälö ellipsin yhtälön. Yksinkertaistetaan tilannetta siten, että M = 100 ja m = 10, näin saadaan simppelimmät kuvaajat eikä tarvitse välittää skaalaamisesta.  

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuvaaja näyttää ratkaisut suoran ja ellipsin leikkauspisteenä.

Muuttamalla liu’un avulla M:n arvoa ja tutkimalla ratkaisupisteen jättämää jälkeä, voisi päästä myös kiinni raja-arvon lukuarvoon. Jätän tämän harjoitustehtäväksi.

Raja-arvo

Tutkitaan pallon nopeuden lausekkeen raja-arvoa, kun M kasvaa suureksi tai m lähestyy nollaa. Nopeuden lausekkeen käyttöön saa ehkä mukavimmin käyttämällä komentoja, jotka muokkaavat 4. solun ratkaisua.

Ratkaisu:=Alkio($4,2)
Nopeus:=OikeaPuoli(Ratkaisu)
RajaArvo(Nopeus, M, Infinity)
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Perinteisellä laskennolla tuon edellisen tuloksen saa, kun jakaa Nopeus-lausekkeen osoittajan ja nimittäjän M:llä ja havaitsee, että m/M lähestyy nollaa kun M lähestyy ääretöntä.

GeoGebralla tuon osoittajan jakamisen M:llä olisi saatu aikaiseksi seuraavasti.

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Vastaavalla tavalla nimittäjä

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Niinpä u = 2 V + v, kun M on iso ja m pieni.

Huomasinpa, että ExpandOnly-komentoa ei löydy suomeksi. Pitääpä selvittää, miksi sitä ei voi kääntää.

Lopuksi

Jätän realistisemman kimmottoman ja 3D maailmassa tapahtuvan törmäyksen tutkimisen alan harrastajille.

Tulevassa tarinassa esitän yksikertaisemman koordinaattimuunnoksiin perustuvan ratkaisun u = 2V + v lausekkeelle.