Tongan tulivuori -tehtävä fyysikoille

Tähdet ja Avaruus-lehden sivuilla on mielenkiintoinen artikkeli liittyen Tongan tulivuorenpurkauksen paineaaltoon, joka kuului/näkyi mittausdatassa täällä Pohjan perukoillakin.

Artikkeliin liittyvän kuvaajan ja animaation tietojen pohjalta voi päätellä kuinka kaukana vaikkapa Helsingistä tai Ivalosta tulivuoren purkaus tapahtui. Itse asiassa mittaustiedot määrittävät myös purkauksen paikan. Teinpä tästä tehtävän lukiofyysikoilleni.

Tehtävä

Oletetaan, että tiedämme Suomen pituuden (tai esim. etäisyys Utsjoelta Helsinki tai Ivalo – Maarianhamina) ja Maan säteen suuruuden, niin päättele kuinka kaukana Maan pintaa pitkin Tongan tulivuoren purkaus tapahtui. Mihin aikaan se tapahtui?

Oheisessa artikkelissa on animaatio ja painekuvaajat.  Esitä siisti ratkaisu perusteluineen. Etsi itse tarvittavat tiedot.

Arvioi tuloksesi virheen suuruutta ja mistä mahdollinen virhe johtuu. Tarvittavia kaavoja:

nopeus v = matka/aika, ympyrän kehän pituus = 2* pii * säde

https://www.avaruus.fi//uutiset/maa-ja-lahiavaruus/tongan-tulivuorenpurkauksen-paineaalto-tuntui-myoes-suomessa.html

Monty Hall Pythonilla – osa 2

Pari viikkoa sitten käsittelin Monty Hall -probleemaa Python ohjelmoinnin avulla. Jatkan tässä tarinaa aiheesta. Yleistetään ongelmaa hieman ja saadaan uusia ongelmia ratkaistavaksi. Aiempi artikkeli löytyy täältä.

Ongelma sanallisesti

Wikipediassa perinteinen Monty Hall -ongelma esitetään seuraavasti: ”Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Yleistetään ongelmaa siten, että vuohien ja autojen määrää voi vaihtaa. Ongelma olisi nyt tämän kaltainen. ”Olkoon v vuohien määrä (v > 1) ja a autojen määrä ( a ≥ 1). Ovien määrä on v + a.  Vuohet ja autot laitetaan satunnaisesti, yksi kunkin suljetun oven taakse. Kilpailija valitsee jonkin oven. Sen jälkeen lopuista ovista poistetaan yksi sellainen ovi, jonka takana on vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven johonkin jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Ratkaisu Pythonilla

Tehdään Pythonilla simulaatio, jossa pelaaja aina vaihtaa valintansa. Tutkitaan aluksi sellaista erikoistapausta, jossa on kolme ovea ja kaksi autoa. Yritän tässä jäljitellä minun tapaani tuottaa ohjelmia, ensin yritän saada ohjelman toimimaan yksinkertaisella versiolla, sitten siirryn monimutkaisempaan tapaukseen. Pyrin myös välttämään kovin pitkiä, vaikeasti luettavia koodirivejä. En myöskään pyri tässä mahdollisimman tehokkaaseen koodin. Tämä on tarkoitettu opiskelumateriaaliksi opettajille ja ohjelmoinnista kiinnostuneille koululaisille ja opiskelijoille.

Koodi

Alla olevat kuvankaappaukset ovat Spyder ohjelmointiympäristön editorin ja konsolin kuvia. Eli kuvassa näkyy ohjelma ja sen tuotos.

Jos olet lukenut edellisen tarinan ja ymmärtänyt sen, niin koodi taitaa olla aika itsestään selvä. Muutamia kommentteja silti. 

Rivit 1-7: Spyderin tuottamaa metatietoa, tämä on ”turhaa”. Toki rivi 2 takaa, että ääkkösten pitäisi toimia.

9-10: Random kirjaston funktiot, shuffle sekoittaa listan ja randint arpoo kokonaisluvun.

13: Luodaan ovet, nollat vuohia ja ykköset autoja eli voittoja.

16: Sekoitetaan ovet-lista.

20: Arvotaan luku väliltä 0, …, 4. Tässä pitää muistaa, että Pythonissa listan ensimmäisen jäsenen järjestysluku on 0. Funktio len(lista) tulostaa lista pituuden eli sen jäsenten lukumäärän. 

28: pop-metodi poistaa olion listasta ja antaa sen tulosteena.  Jos lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista.pop(1) antaa tulokseksi luvun 42 ja samalla listasta katoaa jäsen 42, eli nyt lista on [13, 666, 42].

32: remove-metodi poistaa ensimmäisen esiintymän syötteestään. Jos lista  = [13, 42, 42, 666, 42], niin lista.remove(42) muuttaa sen listaksi [13, 42, 666, 42].

37: Sekoitetaan jäljelle jääneet ovet uudestaan.

42: Valitaan ensimmäinen ovi. En enää jaksa arpoa jotain ovea ja sen jälkeen avata sitä, avaan eina ekan oven. Rivin 37 sekoittaminen takaa, että ovi on satunnainen. Saman olisi tietysti voinut tehdä jo rivillä 20, mutta siellä yritin noudattaa alkuperäistä reseptiä.

46-49 Päätöksentekoa voitosta.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Alla pari suorituskertaa.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Iterointia

Toistetaan peliä muutaman kerran ja lasketaan kuinka suuri osa tuottaa voittoja.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti
Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Ongelmia

Palannen yleiseen ongelmaan lähiaikoina. Nyt varmaankin valistunut lukija pystyy itsekin tuottamaan oman ratkaisunsa tämän kaltaisiin ongelmiin.

1 Jos vuohia on x kpl ja autoja y, niin määritä P(x, y).

2 Milloin P(x, y) > ½? Millainen tasoalue on kyseessä?

3 Kun sinulla on lauseke P:lle. Miten esittäisit sitä fiksuimmin kuvaajana?

4 Etsi pilkkuvirhe artikkelista.

koodi colabissa

täshätää

Jos edellä oleva linkki ei toimi, niin koita toisella selaimella.

Pari pientä kolmio- ja nelikulmiopähkinää

[edit 29.7. Lisäsin luvun 3 janoista, korjasin otsikon.]

Jossain Facebookin tai Twitterin syövereissä oli kolmioiden lukumäärään liittyvä ongelma, jota aloin ratkoa kynän ja paperin avustuksella. Tein siitä oman versioni. Ongelmia sopii pohdiskella kesäloman päättymisen ahdistuksen ohella.

0 helppo ongelma

Tämä taisi olla se versio, jota aloin pähkäilemään. Kuinka monta kolmiota kuviossa on?

Entä kuinka monta nelikulmiota?

1 hieman haastavampi ongelma

Yleistetään tehtävä siten, että merkitään vaakasuunnassa kulkevien janojen (kuvassa ne eivät kulje ihan vaakasuunnassa, mutta ymmärtänet mitä tarkoitan) lukumäärää n:llä, kolmioiden lukumäärää K(n) ja nelikulmioiden lukumäärää N(n).

Kuinka monta kolmiota on kuviossa n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on kuviossa n:n arvolla 10?

Millaisen lukujonon K(1), K(2), K(3), … muodostavat? Määritä K(n).

Millaisen lukujonon N(1), N(2), N(3), … muodostavat? Määritä N(n).

2 vaikeahko ongelma

Muokkasin alkuperäista kuvaa siten, että kolmion ylimmästä kärjestä lähtevien janojen lukumäärä kasvaa.

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 4? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 4?

Kuinka monta kolmioita on n:n arvolla 10? Kuinka monta nelikulmiota on n:n arvolla 10?

Määritä kolmioiden ja nelikulmioiden lukumäärä n:n funktiona.

3 janat

Kun olin jo julkaissut tämän artikkelin, niin tajusin, että janojen lukumäärä kummassakin tapauksessa on mielenkiintoinen ongelma.

Kuinka monta janaa kummassakin tapauksessa on eri n:n arvoilla?


Seuraavassa tarinassani kerron, miten tuotin oheiset kuviot GeoGebran Jono ja Zip-komennoilla.