OMG-hiukkanen – GeoGebran Lukuarvona-komento

Luin Wikipedia-artikkelin OMG-hiukkasesta. Siinä kerrottiin, että: ”OMG-hiukkanen eli Oh-My-God-hiukkanen on lempinimi kosmiselle hiukkaselle, joka havaittiin 15. lokakuuta 1991 Fly’s Eye -ilmaisimella Dugway Proving Groundsissa, Utahissa. Hiukkanen oli atomia pienempi, mutta sen liike-energia oli yhtä suuri kuin 25 m/s (90 km/h) liikkuvalla pesäpallolla (160 g): noin 3 × 1020 elektronivolttia eli suunnilleen 50 joulea. Hiukkanen oli luultavasti lähes valonnopeudella kulkeva protoni. Mikäli se oli protoni, sen nopeus oli noin (1 − (5 × 10−24)) c. Jos tällä nopeudella liikkuva hiukkanen lähtisi liikkeelle yhtä aikaa fotonin kanssa, vuoden kuluttua se olisi vain 46 nanometriä fotonia jäljessä.” 

Myös useammassa muussa artikkelissa kerrotaan nopeudeksi v = 0.9999999999999999999999951 c

tai että c – v ≈ 5·10-15 m/s. Pakkohan se on minunkin laskea, varsinkin kun GeoGebra laskee likiarvoilla vain 15 merkitsevällä numerolla. Lasken varmuuden vuoksi saman laskun myösWolframAlphalla ja Pythonilla.

Ratkaisu GeoGebralla

Lasketaan nopeus käyttämällä Suppeaa suhteellisuusteoriaa ja protonin kokonaisenergiana arvoa 51 J, lukuarvo löytyy englanninkielisestä Wikipedia-artikkelista.

MAOL-taulukkokirjasta löytyvät tarvittavat kaavat.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Kirjoitetaan yhtälö GeoGebran CASiin, ratkaistaan nopeus v ja sijoitetaan arvot. Käytän Ratkaisut-komentoa, jotta saan ratkaisuksi listan, jossa on vain v:n lausekkeet, niitä on mukavampi käsitellä. Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Nopeudeksi saadaan tasan 300000000 m/s. Vaikka GeoGebran asetuksista muuttaa tarkkuuden 15 merkitseväksi numeroksi, niin nopeuden arvo ei muutu.

Jotta lausekkeen arvo lasketaan suuremmalla tarkkuudella, niin tarvitaan Lukuarvona-komentoa. Sen toiseksi syötteeksi voi laittaa halutun tarkkuuden.

Rivillä 6 on sijoituksen tulos, kun käytin Sijoita työkalua ja valitsin Sijoita painikkeen

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Tässä on hyvä hetki muistuttaa bugista, joka on vaivannut GeoGebraa jo jonkin aikaan. Ainakin GeoGebran versionumerossa 666 oli vielä vika, jossa sijoita-työkalun Sijoita-painikkeen painaminen aiheutti virheellisiä tuloksia, kun sijoitetut luvut oli esitetty 3E8-tyyppisesti. Tätä vikaa ei enää ole lokakuun 21 GeoGebran 672-versioissa. Alla 666-version virheellinen sijoitus.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Lasketaan vielä, kuinka paljon saatu tulos poikkeaa valonnopeudesta muutamalla eri tavalla.

Kuva, joka sisältää kohteen pöytä

Kuvaus luotu automaattisesti

Laskun olisi voinut suorittaa ilman Sijoita-työkalua käyttämällä Sijoita-komentoa.
Sijoita( <Lauseke>, <Korvauslista>)

WolframAlpha ja Python

WolframAlpha on siitä mukava, että se laskee oletuksena isolla tarkkuudella. Tässä syötän luvut uudella MATH INPUT-menetelmällä.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

WoframAlphan tulos hieman enemmillä desimaaleilla. 2.99999999999999999999998697226643598615916955014472340698701… × 10^8

Pythonissa tulee vastaan samankaltainen laskentatarkkuusongelma kuin GeoGebrassakin. Alla Colabista kaapattuja kuvia.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Pythonin saa laskemaan mielivaltaisella tarkkuudella vaikkapa mp-math-kirjaston avulla.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Pari linkkiä

Wikipedia

https://fi.wikipedia.org/wiki/OMG-hiukkanen

https://en.wikipedia.org/wiki/Oh-My-God_particle

John Walkerin artikkeli vuodelta 1994

https://www.fourmilab.ch/documents/OhMyGodParticle/

Monty Hall Pythonilla – osa 2

Pari viikkoa sitten käsittelin Monty Hall -probleemaa Python ohjelmoinnin avulla. Jatkan tässä tarinaa aiheesta. Yleistetään ongelmaa hieman ja saadaan uusia ongelmia ratkaistavaksi. Aiempi artikkeli löytyy täältä.

Ongelma sanallisesti

Wikipediassa perinteinen Monty Hall -ongelma esitetään seuraavasti: ”Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Yleistetään ongelmaa siten, että vuohien ja autojen määrää voi vaihtaa. Ongelma olisi nyt tämän kaltainen. ”Olkoon v vuohien määrä (v > 1) ja a autojen määrä ( a ≥ 1). Ovien määrä on v + a.  Vuohet ja autot laitetaan satunnaisesti, yksi kunkin suljetun oven taakse. Kilpailija valitsee jonkin oven. Sen jälkeen lopuista ovista poistetaan yksi sellainen ovi, jonka takana on vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven johonkin jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Ratkaisu Pythonilla

Tehdään Pythonilla simulaatio, jossa pelaaja aina vaihtaa valintansa. Tutkitaan aluksi sellaista erikoistapausta, jossa on kolme ovea ja kaksi autoa. Yritän tässä jäljitellä minun tapaani tuottaa ohjelmia, ensin yritän saada ohjelman toimimaan yksinkertaisella versiolla, sitten siirryn monimutkaisempaan tapaukseen. Pyrin myös välttämään kovin pitkiä, vaikeasti luettavia koodirivejä. En myöskään pyri tässä mahdollisimman tehokkaaseen koodin. Tämä on tarkoitettu opiskelumateriaaliksi opettajille ja ohjelmoinnista kiinnostuneille koululaisille ja opiskelijoille.

Koodi

Alla olevat kuvankaappaukset ovat Spyder ohjelmointiympäristön editorin ja konsolin kuvia. Eli kuvassa näkyy ohjelma ja sen tuotos.

Jos olet lukenut edellisen tarinan ja ymmärtänyt sen, niin koodi taitaa olla aika itsestään selvä. Muutamia kommentteja silti. 

Rivit 1-7: Spyderin tuottamaa metatietoa, tämä on ”turhaa”. Toki rivi 2 takaa, että ääkkösten pitäisi toimia.

9-10: Random kirjaston funktiot, shuffle sekoittaa listan ja randint arpoo kokonaisluvun.

13: Luodaan ovet, nollat vuohia ja ykköset autoja eli voittoja.

16: Sekoitetaan ovet-lista.

20: Arvotaan luku väliltä 0, …, 4. Tässä pitää muistaa, että Pythonissa listan ensimmäisen jäsenen järjestysluku on 0. Funktio len(lista) tulostaa lista pituuden eli sen jäsenten lukumäärän. 

28: pop-metodi poistaa olion listasta ja antaa sen tulosteena.  Jos lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista.pop(1) antaa tulokseksi luvun 42 ja samalla listasta katoaa jäsen 42, eli nyt lista on [13, 666, 42].

32: remove-metodi poistaa ensimmäisen esiintymän syötteestään. Jos lista  = [13, 42, 42, 666, 42], niin lista.remove(42) muuttaa sen listaksi [13, 42, 666, 42].

37: Sekoitetaan jäljelle jääneet ovet uudestaan.

42: Valitaan ensimmäinen ovi. En enää jaksa arpoa jotain ovea ja sen jälkeen avata sitä, avaan eina ekan oven. Rivin 37 sekoittaminen takaa, että ovi on satunnainen. Saman olisi tietysti voinut tehdä jo rivillä 20, mutta siellä yritin noudattaa alkuperäistä reseptiä.

46-49 Päätöksentekoa voitosta.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Alla pari suorituskertaa.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Iterointia

Toistetaan peliä muutaman kerran ja lasketaan kuinka suuri osa tuottaa voittoja.

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti
Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Ongelmia

Palannen yleiseen ongelmaan lähiaikoina. Nyt varmaankin valistunut lukija pystyy itsekin tuottamaan oman ratkaisunsa tämän kaltaisiin ongelmiin.

1 Jos vuohia on x kpl ja autoja y, niin määritä P(x, y).

2 Milloin P(x, y) > ½? Millainen tasoalue on kyseessä?

3 Kun sinulla on lauseke P:lle. Miten esittäisit sitä fiksuimmin kuvaajana?

4 Etsi pilkkuvirhe artikkelista.

koodi colabissa

täshätää

Jos edellä oleva linkki ei toimi, niin koita toisella selaimella.

Monty Hall Pythonilla

Luin Dimensiosta Hannu Korhosen kirja-arvion Tapio Lindin Vesimelonin kuivatus ja muita matemaattisia pähkinöitä -kirjasta. En ole vielä ehtinyt lukemaan kirjaa, mutta se pitänee lukea lähiaikoina. Kirjassa yhtenä ongelmana on kuuluisa Monty Hall-probleema. Aihe on kuikertanut mielessäni jo jonkin aikaa. Niinpä päätin tehdä siitä pienen Python ohjelman. Lähinnä itselleni ja samalla myös oppilaitani varten esimerkkinä siitä, miten sanallinen ongelma käännetään tietokoneohjelmaksi.

Ongelma sanallisesti

Wikipediassa Monty Hall -ongelma esitetään seuraavasti: ” Monty Hallin ongelmassa kilpailijalla on edessään kolme ovea. Yhden oven takana on palkintona auto, kahden muun takana vuohi. Kilpailija, joka ei tiedä minkä oven takana mikin palkinto on, saa valita ovista yhden. Valittuaan oven hän ei vielä avaa sitä. Jäljelle jääneistä kahdesta ovesta avataan toinen, ja sen takana on aina vuohi. Tämän jälkeen kilpailija saa valita, vaihtaako ensin valitsemansa oven toiseen jäljellä olevaan suljettuun oveen, vai pitääkö ensin valitsemansa oven.”

Varmaankin kaikki matikan opet tietävät (viimeistään lukemalla ratkaisun Wikipediasta), että kilpailijan kannattaa vaihtaa, sillä pitämällä ensimmäisen valinnan, niin todennäköisyys voittoon on 1/3 ja vaihtamalla 2/3.

Python koodi

Tehdään Pythonilla ohjelma, joka noudattaa edellä esitettyä tilannetta siten, että kilpailija vaihtaa aina valintansa. Koodia kirjoittaessa en käytä järkeä siinä mielessä, että oikaisisin suoraan ratkaisuun. Toteutan tilanteen ikään kuin ohjeen mukaan. Laitan koodiin rivinumerot ja kommentit, joiden avulla yritän kertoa lukijalle mitä koodissa tapahtuu.

Muutama kommentti koodista

Lukijan on hyvä muistaa, että Pythonissa listan ensimmäisen jäsenen järjestysluku on nolla, toisen järjestysluku on 1 jne. Siksi ovien numerot ovat 0, 1, ja 2.

Rivillä 9: shuffle(lista) funktio sekoittaa syötelistansa jäsenet satunnaisesti.

Rivillä 13: randint(a, b) tuottaa satunnaisen kokonaisluvun väliltä [a, b].

Rivillä 17: pop-metodi poistaa olion listasta ja antaa sen tulosteena.  Jos lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista.pop(1) antaa tulokseksi luvun 42 ja samalla listasta katoaa jäsen 42, eli nyt lista on [13, 666, 42].

Rivillä 20: remove-metodi poistaa ensimmäisen esiintymän syötteestään. Jos lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista.remove(42) muutaa listan listaksi [13, 666, 42].

Rivillä 23: Leikkauksien avulla saadaan valittua listasta jäseniä. Jos lista on lista  = [13, 42, 666, 42], niin lista[1] tulostaa luvun 42.

Alla ohjelman tuottama tulos muutamalla suorituskerralla.

Kun tuota ohjelmaa ja tulosteita katsoo, niin pikku hiljaa (ainakin minulle) selkenee, että tässä pelissä pelaaja voittaa, jos hän on alun perin valinnut vuohen. Vuohi valitaan todennäköisyydellä 2/3.

Tehdään vielä ohjelmaan sellainen muutos, että suoritetaan se vaikkapa 1000 kertaa ja lasketaan voittojen lukumäärä.

Alla ohjelman tulos:

Seuraavassa tarinassani muokkaan ongelmaa/ohjelmaa sellaiseksi, että vuohia onkin vaikkapa 5 ja voittoautoja 2. Ja samalla tietysti pohdin, mikä siinä tilanteessa on voiton todennäköisyys.

Lähteet

https://dimensiolehti.fi/kirjallisuutta-vesimelonin-kuivatus/

https://fi.wikipedia.org/wiki/Monty_Hallin_ongelma