Uusi Fibonaccilukujono-ongelma

Twitteristä löytyi ainakin minulle uusi omituinen totuus liittyen Fibonacci-lukuihin. Jos ottaa kaksi Fibonaccilukua ja kertoo ne keskenään ja lisää tuloon seuraavien Fibonaccilukujen tulon, niin summa on Fibocacciluku.

Tantonin esimerkissä a = 4, F(3) = 3, b = 9, F(9) = 34, F(5) = 5 ja F(10) = 55 ja 377 = F(14).

flista = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …} 

Kun tutkiskelin tätä GeoGebralla, niin havaitsin yksinkertaisen yhteyden sille, kuinka mones tuo summan luku on Fibonaccilukusarjassa.

Jätän tässä vaiheessa lukijalle pohdittavaksi miten todistaa Tantonin lause ja pohdiskella paria muuta aiheeseen liittyvää ongelmaa.

1. Jos F(n) on Fibonaccilukujonon n:s termi ja a sekä b ovat luonnollisia lukuja >0, niin F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1) on myös Fibonacciluku. Todista.
2. Tutki myös kuinka mones luku tuo kyseinen luku on eli jos T(a, b) = F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1), niin määritä kuinka mones Fibonacciluku T(a, b)  on a:n ja b:n funktiona. Todista. Tantonin esimerkissä on a = 4 ja b = 9. Niinpä T(a, b) = 377 on 14. Fibonacciluku.
3. Määritä T(a, b) sievänä a:n ja b:n lausekkeena eli ei rekursiivisena lausekkeena.
4. Onko muita Fibonaccilukusarjan alkuarvoja, joilla on tämä ominaisuus?

Minulle on tässä vaiheessa vaikeaa keksiä yksinkertaista lauseketta 3. tehtävän lausekkeelle. Toki huomasin, että esimerkiksi jos a:n ja b:n summa on vakio, niin f on sama luku. Eli jos (a,b) = (1,9) tai (2, 8) tai (3,7) tai (4,6) tai (5,5) … niin summa f = 89.

Veikkaan, että nuo todistukset ovat hieman hankalia. Toki minulla on pieni aavistus siitä miten määritän/todistan 3 tehtävän.

Palannen aiheeseen tulevaisuudessa.