Fibonaccitulosumman lauseke

[edit. 19.11.22 lisäsin jälkihuomautuksen loppuun ja linkin Simo Kivelän blogiin]

Pari viikkoa sitten kirjoitin minulle uudesta Fibonaccilukuihin liittyvästä totuudesta. Yritin ratkoa sitä eri tavoilla, mutta lausekkeet olivat niin sekavan näköisiä silmissäni, että en uskaltanut alkaa pohtia ratkaisua sen tarkemmin.

Aiheeseen liittyvä artikkeli on täällä https://mikkorahikka.blog/2022/10/27/uusi-fibonaccilukujono-ongelma/

Muistin visrkistykseksi itse ongelma. Jos F(n) on perinteisen Fibonaccilukujonon n:s termi ja Tantonin funktio T(a, b) = F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1), niin T(m, n) on myös Fibonacciluku kaikilla ykköstä suuremmilla luonnollisilla luvuilla m, ja n.

Tehtävänä on määrittää sievä ei-rekursiivinen lauseke T:lle ja osoittaa, että T(a, b) on vakio, jos a + b on vakio. 

Simo Kivelä lähetti minulle GeoGebra-tiedoston, jossa hän osoitti, että T:n lauseke on aika yksinkertainen ja T:n arvot pysyvät samoina, kun m + n+ 1 = vakio. Aiemmin olimme huomanneet, että T(a , b) = F(a + b +1).

Kaunosielu kun olen, niin halusin sieventää lausekkeen sievemmäksi. Aloin muokkaamaan Simon lausekkeen e:n potensseja, otin yhteisiä tekijöitä jne. Lopulta sain aika kauniin lausekkeen.

Solussa 14 on T:n lauseke esitettynä kultaisen leikkauksen luvun avulla.

tau = (1+sqrt(5)) / 2

Jätän taas lukijalle todistettavaksi, että kuvan T ja TT  todella ovat Tantonin funktion lausekkeita. Saisiko tuon lausekkeen vieläkin nätimmäksi?

Jälkihuomautus

Kun tutkii alussa näkyvän f(n) :n ja lopun T(m,n):n lausekkeita, niin näkee, että

T(m, n) = f(n + m + 1).

Simo Kivelä kirjoitti aiheesta blogissaan http://simokivela.blogspot.com/2022/11/fibonacci.html

Uusi Fibonaccilukujono-ongelma

Twitteristä löytyi ainakin minulle uusi omituinen totuus liittyen Fibonacci-lukuihin. Jos ottaa kaksi Fibonaccilukua ja kertoo ne keskenään ja lisää tuloon seuraavien Fibonaccilukujen tulon, niin summa on Fibocacciluku.

Tantonin esimerkissä a = 4, F(3) = 3, b = 9, F(9) = 34, F(5) = 5 ja F(10) = 55 ja 377 = F(14).

flista = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …} 

Kun tutkiskelin tätä GeoGebralla, niin havaitsin yksinkertaisen yhteyden sille, kuinka mones tuo summan luku on Fibonaccilukusarjassa.

Jätän tässä vaiheessa lukijalle pohdittavaksi miten todistaa Tantonin lause ja pohdiskella paria muuta aiheeseen liittyvää ongelmaa.

  1. Jos F(n) on Fibonaccilukujonon n:s termi ja a sekä b ovat luonnollisia lukuja >0, niin F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1) on myös Fibonacciluku. Todista.
  2. Tutki myös kuinka mones luku tuo kyseinen luku on eli jos T(a, b) = F(a)*F(b) + F(a+1)*F(b+1), niin määritä kuinka mones Fibonacciluku T(a, b)  on a:n ja b:n funktiona. Todista. Tantonin esimerkissä on a = 4 ja b = 9. Niinpä T(a, b) = 377 on 14. Fibonacciluku.
  3. Määritä T(a, b) sievänä a:n ja b:n lausekkeena eli ei rekursiivisena lausekkeena.
  4. Onko muita Fibonaccilukusarjan alkuarvoja, joilla on tämä ominaisuus?

Minulle on tässä vaiheessa vaikeaa keksiä yksinkertaista lauseketta 3. tehtävän lausekkeelle. Toki huomasin, että esimerkiksi jos a:n ja b:n summa on vakio, niin f on sama luku. Eli jos (a,b) = (1,9) tai (2, 8) tai (3,7) tai (4,6) tai (5,5) … niin summa f = 89.

Veikkaan, että nuo todistukset ovat hieman hankalia. Toki minulla on pieni aavistus siitä miten määritän/todistan 3 tehtävän.

Palannen aiheeseen tulevaisuudessa.

Hauska Fibonaccilukujen ja Pythagoraan kolmikkojen välinen yhteys

Ota neljä peräkkäistä Fibonaccilukua. Kutsutaan niitä kirjaimilla a, b, c, d. Luodaan näiden avulla luvut x = a*d, y = 2*b*c ja z = a*c+b*d. Tällöin x, y ja z ovat Pythagoraan kolmikkoja eli jos a, b ja c ovat kolmion sivujen pituuksia, niin kolmio on suorakulmainen.

Kokeillaan ensimmäisillä.

 a = 1, b = 1, c = 2 ja d = 3.  
x = 1*3 = 3, y = 2*1*2 = 4 ja z = 1*2+1*3 = 5.
3^2 + 4^2 = 25, 5^2 = 25

Enpä malttanut olla laskematta muutamilla arvoilla GeoGebran taulukkolaskennassa.

Vaikuttaisi siltä, että lause pätee useammallakin Fibonacciluvulla. Jätän todistuksen lukijan vastuulle.

Samalla voi pohtia, mitä vaaditaan alkuperäiseltä nelikon lukujonolta, jotta se tuottaisi Pythagoraan kolmikoita kyseisellä menetelmällä.

Tämä löytyi Pat’sBlog: The Pythagonacci Connection artikkelista. https://pballew.blogspot.com/2020/04/the-pythagonacci-connection.html