Tämän funktion on käsittääkseni keksinyt norjalainen Harald Totland. Kun pentagrammin kolmen pisteen kautta piirtää neljännen asteen polynomin, niin se kulkee myös pentagrammin kahden muun pisteen kautta.
Piirretään säännöllinen viisikulmio ABCDE, pisteiden A ja B x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Tässä A = (-1 ,0) ja B = (1 , 0). Piirrtetään viisikulmioon pentagrammi ACEBD. Piste F on A:sta ja B:stä lähtevien pentagrammin sivujen/kylkien leikkauspiste. Olkoon P(x) se neljännen asteen polynomi, joka kulkee pisteiden A, B, ja F kautta siten, että kyseisissä pisteissä on polynomin paikalliset ääriarvokohdat kuten kuvassa.
Tällöin seuraavat lauseet ovat totta
- Polynomi p kulkee kahden muun pentagrammin pisteen kautta. Kuvan tilanteessa p(pisteen C x-koordinaatti) = Pisteen C y-koordinaatti.
- Piste, jossa p:n kuvaaja leikkaa sivun BE on suoraan yhden pentagrammin pisteen alapuolella. Sama pätee p:n ja AC: leikkauspisteelle. Kuvassa Pisteiden H ja G x-koordinaatit ovat yhtä suuret.
- Piste H jakaa janan BF kultaisen leikkauksen suhteessa.
Kolmannen lauseen huomasin itse kun tutkiskelin kuvaa.
Jätän polynomin lausekkeen määrittelyn menetelmän keksimisen ja lauseiden todistamisen ilon lukijalle. Tehtävä sopinee hyvin CAS-harjoitukseksi. Tuskin tätä ilman tietokonetta jaksaa ratkaista?
Lähde
Tämä artikkeli on varsinainen runsauden sarvi liittyen 4-asteen polynomeihin ja kultaiseen laikkaukseen.
Thomas Weibull. 4th degree polynomials and the Golden Section.
Mikon fysiikka ja matikka 