Kolme noppaa ja Zip-komento

Millä todennäköisyydellä kolmea noppaa heitettäessä saadaan summaksi 10? Havainnollistetaan tilannetta kolmiulotteisesti käyttämällä GeoGebran listoihin liittyviä komentoja. Teen sovellukseni GeoGebra 5:llä ja komennot kirjoitan Syöttökenttään.

Luodaan ensin kaikki tulosvaihtoehdot pisteiksi kolmiulotteiseen koordinaatistoon käyttämällä kolmea sisäkkäistä Jono-komentoa. Jos tämän kirjoittaa käsin, niin kannattaa ensin kirjoittaa

Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> )

ja sen jälkeen <Lauseke> korvata uudella Jono-komennolla tyyliin

Jono( Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> ),<Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> )

ja sen jälkeen vielä kerran samalla tavalla

Jono( Jono( Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> ), <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> ), <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> )

Lopuksi täytetään muut muuttujien kohdat ja annetaan lista nimeksi pisteet. Lopullinen komento on

pisteet = Jono(Jono(Jono((aa, bb, cc), aa, 1, 6), bb, 1, 6), cc, 1, 6)

Komento tuottaa kuusi listaa, jossa on kaikki 6·6·6 = 216 pistettä.

pisteet = {{{(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (4, 1, 1), (5, 1, 1), (6, 1, 1)}, {(1, 2, 1), (2, 2, 1), (3, 2, 1), (4, 2, 1), (5, 2, 1), (6, 2, 1)}, {(1, 3, 1), (2, 3, 1), (3, 3, 1), (4, 3, 1), (5, 3, 1), (6, 3, 1)}, {(1, 4, 1), (2, 4, 1), (3, 4, 1), (4, 4, 1), (5, 4, 1), (6, 4, 1)}, {(1, 5, 1), (2, 5, 1), (3, 5, 1), (4, 5, 1), (5, 5, 1), (6, 5, 1)}, {(1, 6, 1), (2, 6, 1), (3, 6, 1), (4, 6, 1), (5, 6, 1), (6, 6, 1)}}, {{(1, 1, 2), (2, 1, 2), (3, 1, 2), (4, 1, 2), (5, 1, 2), (6, 1, 2)}, {(1, 2, 2), (2, 2, 2), (3, 2, 2), (4, 2, 2), (5, 2, 2), (6, 2, 2)}, {(1, 3, 2), (2, 3, 2), (3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2), (6, 3, 2)}, {(1, 4, 2), (2, 4, 2), (3, 4, 2), (4, 4, 2), (5, 4, 2), (6, 4, 2)}, {(1, 5, 2), (2, 5, 2), (3, 5, 2), (4, 5, 2), (5, 5, 2), (6, 5, 2)}, {(1, 6, 2), (2, 6, 2), (3, 6, 2), (4, 6, 2), (5, 6, 2), (6, 6, 2)}}, {{(1, 1, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 3), (4, 1, 3), (5, 1, 3), (6, 1, 3)}, {(1, 2, 3), (2, 2, 3), (3, 2, 3), (4, 2, 3), (5, 2, 3), (6, 2, 3)}, {(1, 3, 3), (2, 3, 3), (3, 3, 3), (4, 3, 3), (5, 3, 3), (6, 3, 3)}, {(1, 4, 3), (2, 4, 3), (3, 4, 3), (4, 4, 3), (5, 4, 3), (6, 4, 3)}, {(1, 5, 3), (2, 5, 3), (3, 5, 3), (4, 5, 3), (5, 5, 3), (6, 5, 3)}, {(1, 6, 3), (2, 6, 3), (3, 6, 3), (4, 6, 3), (5, 6, 3), (6, 6, 3)}}, {{(1, 1, 4), (2, 1, 4), (3, 1, 4), (4, 1, 4), (5, 1, 4), (6, 1, 4)}, {(1, 2, 4), (2, 2, 4), (3, 2, 4), (4, 2, 4), (5, 2, 4), (6, 2, 4)}, {(1, 3, 4), (2, 3, 4), (3, 3, 4), (4, 3, 4), (5, 3, 4), (6, 3, 4)}, {(1, 4, 4), (2, 4, 4), (3, 4, 4), (4, 4, 4), (5, 4, 4), (6, 4, 4)}, {(1, 5, 4), (2, 5, 4), (3, 5, 4), (4, 5, 4), (5, 5, 4), (6, 5, 4)}, {(1, 6, 4), (2, 6, 4), (3, 6, 4), (4, 6, 4), (5, 6, 4), (6, 6, 4)}}, {{(1, 1, 5), (2, 1, 5), (3, 1, 5), (4, 1, 5), (5, 1, 5), (6, 1, 5)}, {(1, 2, 5), (2, 2, 5), (3, 2, 5), (4, 2, 5), (5, 2, 5), (6, 2, 5)}, {(1, 3, 5), (2, 3, 5), (3, 3, 5), (4, 3, 5), (5, 3, 5), (6, 3, 5)}, {(1, 4, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5), (4, 4, 5), (5, 4, 5), (6, 4, 5)}, {(1, 5, 5), (2, 5, 5), (3, 5, 5), (4, 5, 5), (5, 5, 5), (6, 5, 5)}, {(1, 6, 5), (2, 6, 5), (3, 6, 5), (4, 6, 5), (5, 6, 5), (6, 6, 5)}}, {{(1, 1, 6), (2, 1, 6), (3, 1, 6), (4, 1, 6), (5, 1, 6), (6, 1, 6)}, {(1, 2, 6), (2, 2, 6), (3, 2, 6), (4, 2, 6), (5, 2, 6), (6, 2, 6)}, {(1, 3, 6), (2, 3, 6), (3, 3, 6), (4, 3, 6), (5, 3, 6), (6, 3, 6)}, {(1, 4, 6), (2, 4, 6), (3, 4, 6), (4, 4, 6), (5, 4, 6), (6, 4, 6)}, {(1, 5, 6), (2, 5, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6), (5, 5, 6), (6, 5, 6)}, {(1, 6, 6), (2, 6, 6), (3, 6, 6), (4, 6, 6), (5, 6, 6), (6, 6, 6)}}} 

Paremman havainnollistuksen saa, kun katsoo listaa CAS-ikkunassa.

3D-piirtoalueella lista pisteet näyttää tältä.

Listan pisteet pituus on kuusi. Luodaan yksi lista, jossa pisteet ovat peräkkäin listana käyttämällä Tiivistä-komentoa. Se ikään kuin poistaa ylimääräiset sulkeet eli tässä tapauksessa turhat listat.

kaikki = Tiivistä(pisteet)

kaikki = {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (4, 1, 1), (5, 1, 1), (6, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 2, 1), (3, 2, 1), (4, 2, 1), (5, 2, 1), (6, 2, 1), (1, 3, 1), (2, 3, 1), (3, 3, 1), (4, 3, 1), (5, 3, 1), (6, 3, 1), (1, 4, 1), (2, 4, 1), (3, 4, 1), (4, 4, 1), (5, 4, 1), (6, 4, 1), (1, 5, 1), (2, 5, 1), (3, 5, 1), (4, 5, 1), (5, 5, 1), (6, 5, 1), (1, 6, 1), (2, 6, 1), (3, 6, 1), (4, 6, 1), (5, 6, 1), (6, 6, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 2), (3, 1, 2), (4, 1, 2), (5, 1, 2), (6, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2), (3, 2, 2), (4, 2, 2), (5, 2, 2), (6, 2, 2), (1, 3, 2), (2, 3, 2), (3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2), (6, 3, 2), (1, 4, 2), (2, 4, 2), (3, 4, 2), (4, 4, 2), (5, 4, 2), (6, 4, 2), (1, 5, 2), (2, 5, 2), (3, 5, 2), (4, 5, 2), (5, 5, 2), (6, 5, 2), (1, 6, 2), (2, 6, 2), (3, 6, 2), (4, 6, 2), (5, 6, 2), (6, 6, 2), (1, 1, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 3), (4, 1, 3), (5, 1, 3), (6, 1, 3), (1, 2, 3), (2, 2, 3), (3, 2, 3), (4, 2, 3), (5, 2, 3), (6, 2, 3), (1, 3, 3), (2, 3, 3), (3, 3, 3), (4, 3, 3), (5, 3, 3), (6, 3, 3), (1, 4, 3), (2, 4, 3), (3, 4, 3), (4, 4, 3), (5, 4, 3), (6, 4, 3), (1, 5, 3), (2, 5, 3), (3, 5, 3), (4, 5, 3), (5, 5, 3), (6, 5, 3), (1, 6, 3), (2, 6, 3), (3, 6, 3), (4, 6, 3), (5, 6, 3), (6, 6, 3), (1, 1, 4), (2, 1, 4), (3, 1, 4), (4, 1, 4), (5, 1, 4), (6, 1, 4), (1, 2, 4), (2, 2, 4), (3, 2, 4), (4, 2, 4), (5, 2, 4), (6, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), (3, 3, 4), (4, 3, 4), (5, 3, 4), (6, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 4, 4), (3, 4, 4), (4, 4, 4), (5, 4, 4), (6, 4, 4), (1, 5, 4), (2, 5, 4), (3, 5, 4), (4, 5, 4), (5, 5, 4), (6, 5, 4), (1, 6, 4), (2, 6, 4), (3, 6, 4), (4, 6, 4), (5, 6, 4), (6, 6, 4), (1, 1, 5), (2, 1, 5), (3, 1, 5), (4, 1, 5), (5, 1, 5), (6, 1, 5), (1, 2, 5), (2, 2, 5), (3, 2, 5), (4, 2, 5), (5, 2, 5), (6, 2, 5), (1, 3, 5), (2, 3, 5), (3, 3, 5), (4, 3, 5), (5, 3, 5), (6, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5), (4, 4, 5), (5, 4, 5), (6, 4, 5), (1, 5, 5), (2, 5, 5), (3, 5, 5), (4, 5, 5), (5, 5, 5), (6, 5, 5), (1, 6, 5), (2, 6, 5), (3, 6, 5), (4, 6, 5), (5, 6, 5), (6, 6, 5), (1, 1, 6), (2, 1, 6), (3, 1, 6), (4, 1, 6), (5, 1, 6), (6, 1, 6), (1, 2, 6), (2, 2, 6), (3, 2, 6), (4, 2, 6), (5, 2, 6), (6, 2, 6), (1, 3, 6), (2, 3, 6), (3, 3, 6), (4, 3, 6), (5, 3, 6), (6, 3, 6), (1, 4, 6), (2, 4, 6), (3, 4, 6), (4, 4, 6), (5, 4, 6), (6, 4, 6), (1, 5, 6), (2, 5, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6), (5, 5, 6), (6, 5, 6), (1, 6, 6), (2, 6, 6), (3, 6, 6), (4, 6, 6), (5, 6, 6), (6, 6, 6)}

Listan kaikki pituus on 216.

Jotta saamme ongelmastamme hieman yleisemmän, luodaan liuku n. siten, että se saa kokonaislukuarvoja välillä [1, …, 20]. Tuossa on pari ylimääräistä lukua, mutta ne toiminevat tarkastuksena, että menetemä on oikea. Kirjoitetaan syöttökenttään

n = 10

ja klikataan Algebra-ikkunassa sen vasemmalla puolella olevaan pallukkaan. Klikkaamalla liukua hiiren oikealla painikkeella saadaan ominaisuudet ja Liukusäädin ikkunassa:

Seuraavaksi selvitetään, millä kaikki-listan pistellä summa on yhtä suuri kuin n.

Tässäkin voisi käyttää sisäkkäisiä jono-komentoja, mutta ehkä tyylikkäämpää on käyttää Zip-komentoa. Komennon yleinen syntaksi on seuraava

Zip( <Lauseke>, <Muuttuja1>, <Lista1>, <Muuttuja2>, <Lista2>, ... )

Selvennetään Zip-komentoa esimerkillä. Jos lista A = {1, 2, 3} ja B = {4, 5, 6, 7}, niin komento

testi = Zip((a, b), a, A, b, B)

tuottaa listan 

testi = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} 

Komennossa a on listan A alkioihin liittyvä sisäinen muuttuja ja b liittyy B:n alkioihin. Tässä tapauksessa (a, b) tuottaa pisteitä siten, että ensin otetaan ensimmäinen alkio A:sta ja ensimmäinen B:stä eli (1, 4), sitten toiset alkiot eli (2, 5) ja sitten kolmannet (3, 6). Nyt kaikki A:n alkiot on käyty läpi ja ei tuoteta lisää pisteitä. Yleisesti tällä komennolla voidaan suorittaa komentoja useille listoille. Syntyvän listan pituuden määrittää lyhin lista. Itse käytän Zipiä useimmiten, kun haluan käydä yhden listan kaikki alkiot kerralla. 

Luodaan lista suotuisille tapauksille. Sisäinen muuttuja a käy läpi kaikki-listan alkiot. Jos-ehdon sisällä x(a) + y(a) + z(a) laskee a-pisteen koordinaattien summan.

suo = Zip(Jos(x(a) + y(a) + z(a) == n, a), a, kaikki)

tuottaa listan

suo = {(?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (6, 3, 1), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (5, 4, 1), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (4, 5, 1), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 6, 1), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (6, 2, 2), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (5, 3, 2), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (4, 4, 2), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 5, 2), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (2, 6, 2), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (6, 1, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (5, 2, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (4, 3, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 4, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (2, 5, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (1, 6, 3), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (5, 1, 4), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (4, 2, 4), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 3, 4), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (2, 4, 4), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (1, 5, 4), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (4, 1, 5), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 2, 5), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (2, 3, 5), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (1, 4, 5), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (3, 1, 6), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (2, 2, 6), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (1, 3, 6), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?), (?, ?, ?)} 

Noista määrittelemättömistä pisteistä (?, ?, ?) pääsee eroon komenolla

suotuisat = PoistaMäärittelemätön(suo)

suotuisat = {(6, 3, 1), (5, 4, 1), (4, 5, 1), (3, 6, 1), (6, 2, 2), (5, 3, 2), (4, 4, 2), (3, 5, 2), (2, 6, 2), (6, 1, 3), (5, 2, 3), (4, 3, 3), (3, 4, 3), (2, 5, 3), (1, 6, 3), (5, 1, 4), (4, 2, 4), (3, 3, 4), (2, 4, 4), (1, 5, 4), (4, 1, 5), (3, 2, 5), (2, 3, 5), (1, 4, 5), (3, 1, 6), (2, 2, 6), (1, 3, 6)} 

Listan suotuisat pituus on 27, niinpä summan 10 todennäköisyys on 27/216 = 1/8.

Valmis appletti löytyy sivulta https://www.geogebra.org/m/rdhryznv