[edit 20.2.23. Korjasin sykloidin ajan. ]

Etelä-Suomen hiihtoloman ja laskiaisen ajanvietteeksi sopii seuraava liukumiseen liittyvä ongelma. Tämä sopii hyvin hernekeiton ja laskiaispullan sulatteluun. Mikä on nopein reitti liukua pisteestä toiseen, jos liukumäen profiili on muotoa y = xⁿ, missä n saa arvoja 1, 2, … ?

Idea tähän tehtävään löytyi jostain somejulkaisusta, jonka unohdin tallentaa. Tehtävä jäi vaivaamaan mieltäni ja niinpä pienen Googletuksen avulla pystyin luomaan mallit, joilla laskea liukuajat numeerisen integroinnin avulla. Tämän ongelman mäki on kooltaa aika pieni. Jos et mahdu itse laskemaan siihen, niin kuvittele olevasi pienempi.

Tehtävä 1. Liu’utaan kitkatta pisteestä (1 m, 1 m) pisteeseen (0 m, 0 m) ja muitakaan vastustavia voimia ei ole kiusaamassa laskentoamme. Mikä on nopein reitti, jos reitti on muodoltaan on funktio f(x) = xⁿ, missä n on positiivinen luonnollinen luku. Tietysti lasku tapahtuu Maan pinnalla, paikassa jossa putoamiskiihtyvyys on 9.8100 m/s².

Tehtävä 2. Kummalla reitillä liukuaika on lyhyempi, mennään pisteestä (1 m, 1 m) paraabelin y = x² kaarella origoon vai kun liu’utaan origosta pisteeseen (1 m, -1m) neliöjuurikäyrää y = -x^1/2?

Tehtävä 3. Jos lasketaan mäkeä origosta pisteeseen (1 m, -1 m) ja tutkitaan funktioita -xn, n on positiivinen reaaliluku, niin millä n:n arvolla liukuaika on lyhin? Ja taas mennään ilman kitkaa ja ilmanvastusta.

Tarinan lopussa on pari linkkiä, joiden avulla laskin numeeriset integraalini.

Pienimmäksi liukuajaksi potenssifunktiolla  x^m sain Pythonin Scipyllä (0.59428023847 ± 1.3e-10) s. Jätän lukijan tutkittavaksi, mikä tuon m:n arvo on. (GeoGebran numeerinen integraatio antoi tulokseksi 0.5942801888918.)

Tietysti tarkistuksen vuoksi piti laskea myös muilla käyrillä. Sykloidilla sain GeoGebran numeerisella integroinnilla tulokseksi 0.5828954631542 s. Pythonin Scipy.integrate-kirjaston numeerisen integraalin laskeva quad-funktio tuotti arvoksi ja virheeksi (0.5828954631542245 ± 2 e-14) s. Wolfram Alphalla sain tulokseksi 0.587563 s.

Ympyrän (säde = 1 m) kaarella ajaksi tuli 0.5919604868957612 s.

Laitan omien laskujeni tulokset ja koodit näytille lähipäivinä.

Lähteitä

Brakistokroni Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Brakistokroni

Cantor’ Paradise: Introduction to the Brachistochrone Problem — Finding the Time to Slide Along a Path
https://www.cantorsparadise.com/introduction-to-the-brachistochrone-problem-finding-the-time-to-slide-along-a-path-c2a7b3029e1b

scipython.com: The Brachistochrone problem
https://scipython.com/blog/the-brachistochrone-problem/