Törmäsin artikkeliin, jossa pohdiskellaan miksi pokeria pelataan viidellä kortilla. Päätinpä alkaa tutkia kuinka suurella todennäköisyydellä tulee vähintään yksi pari kun korttipakasta valitaan satunnaisesti n korttia.

Tässä tarinassa tutkitaan perinteistä 52 kortin korttipakkaa. 

Tästä aloitin.

Ongelma 1. Otetaan korttipakasta kolme korttia. Kuinka suurella todennäköisyydellä saadaan pari eli kaksi samaa korttia. Esimerkiksi ♠A, ♡A ja ♣J.

Ongelma 2. Otetaan korttipakasta neljä korttia. Kuinka suurella todennäköisyydellä saadaan pari eli kaksi samaa korttia. Parin lisäksi loput kaksi korttia tulee olla arvoltaan erilaisia. Esimerkiksi ♠A, ♡A, ♣J ja ♢7.

Kun otetaan kortteja enemmän, niin todennäköisyyksien laskeminen vaikeutuu, sillä pareja, kolmosia (kolme samaa)  tai nelosia (neljä samaa) voi tulla useamman kerran. Siksi pitää määritellä säännöt, mitä tarkoitetaan esimerkiksi valittujen korttien (käden) arvolle neloset.

MokeriN

Päätin unohtaa perinteisen pokeripelin ja keksin uuden pelin nimeltä MokeriN (Mikon n:n kortin pokeri). MokeriN:ssä valitaan 52 kortin korttipakasta n korttia (1 ≤ n ≤ 52). Valittua korttien kokoelmaa kutsutaan kädeksi. Käsi voi saada neljä erilaista arvoa.

Neloset: Jos kädessä on vähintään yksi sellainen neljän kortin joukko, joiden arvot ovat samat, niin käden arvo on neloset. Esimerkiksi jos n:n arvo on 9, niin kädet ♠A, ♡A, ♣A, ♢A, ♠2, ♡2, ♣2, ♢2, ♣9 ja ♠A, ♡A, ♣A, ♢A, ♠2, ♡2, ♣2, ♢J, ♣9 ovat arvoltaan neloset.

Kolmoset: Jos kädessä ei ole nelosia ja siinä on vähintään yksi kolmikko kortteja, joilla on sama arvo, niin käden arvo on kolmoset. Esimerkkikäsiä kolmosista. ♠A, ♡A, ♣A, ♠2, ♡2, ♣2, ♢9, ♣9, ♢8 ja ♠A, ♡A, ♣A, ♢2, ♠3, ♡4, ♣5, ♢6, ♣7.

Pari: Jos kädessä ei ole nelosia tai kolmosia ja kädessä on vähintään yksi pari eli arvoltaan kaksi samaa korttia, niin käden arvo on pari. Esimerkki: ♠A, ♡A, ♣2, ♠2, ♡Q, ♣J, ♢9, ♣10, ♢8 ja ♠A, ♡A, ♢2, ♠3, ♡4, ♣5, ♢6, ♣7 ♣8.

Ei mitään: Jos kädessä ei ole pareja, kolmosia tai nelosia, niin sen arvo on ei mitään.

Ongelma 3. Pelataan 5 kortin MokeriN peliä eli Mokeri5. Kuinka suurella todennäköisyydellä käden arvo on ei mitään?

Ongelma 4. Pelataan Mokeri5 peliä. Kuinka suurella todennäköisyydellä käden arvo on pari?

Ongelma 5. Pelataan Mokeri5 peliä. Kuinka suurella todennäköisyydellä käden arvo on kolmoset?

Ongelma 6. Pelataan Mokeri5 peliä. Kuinka suurella todennäköisyydellä käden arvo on neloset?

Nuo edelliset todennäköisyydet ovat suhteellisen helppoja laskea, varsinkin kun pokerisivustoilta löytyy apuja. Minä keksin omasta mielestäni oikeat laskukaavat/mallit käsien ei mitään ja neloset todennäköisyyksille. Pakko tunnustaa, että nelosten todennäköisyyden laskemisessa käytin apuna tekoälyä.

Tein pienehkön Python ohjelman, jonka avulla pystyin pelaamaan MokeriN-peliä ja laskemaan arvioita MokeriN:n todennäköisyyksille. Seuraavassa kuvaajassa on pelattu MokeriN:ää kullakin n:n arvolla 100000 kertaa.

Simuloinnin mukaan parin todennäköisyys muuttuu suuremmaksi kuin käden arvo ei mitään n:n arvolla kuusi. Vastaavasti n:n arvolla 14 kolmosten todennäköisyys on suurempi kuin parin ja n:n arvolla 25 nelosten todennäköisyys kasvaa suuremmaksi kuin kolmosten.

Ongelma 7. Luo kaava tai laskennallinen malli, jonka avulla voi laskea MokeriN-pelin eri käsien arvojen todennäköisyydet eri n:n arvoilla.

Ongelma 8. Millä n:n arvolla parin todennäköisyys muuttuu suuremmaksi kuin arvon ei mitään? Millä n:n arvolla kolmosten todennäköisyys muuttuu suuremmaksi kuin parin? Millä n:n arvolla kolmosten todennäköisyys muuttuu suuremmaksi kuin parin?

Alla taulukko, jossa joitakin simuloinnin antamia tuloksia kolmen desimaalin tarkkuudella.

n	ei mitään	pari	kolmoset	neloset
10	0,019	0,740	0,231	0,010
20	0,000	0,043	0,737	0,220
30	0,000	0,000	0,180	0,820
40	1,000	0,000	0,000	0,000

lähteet

Y. L. Cheung,.Why Poker Is Played with Five Cards. The Mathematical Gazette Vol. 73, No. 466 (Dec., 1989), pp. 313-315 (3 pages)
https://www.jstor.org/stable/3619303

Kuvaajia Pythonin Matplotlib kirjastolla + xkcd-kuvaajat -blogiartikkelini
https://mikkorahikka.blog/2024/03/02/kuvaajia-pythonin-matplotlib-kirjastolla-xkcd-kuvaajat/