Aiemmin esitin Metropallo-ongelman ratkaisun GeoGebralla käyttäen liikemäärän ja energian säilymislakeja. Ratkaistaan ongelma tutkimalla tilannetta eri koordinaatistoissa. Tämän idean opin muistaakseni professori Varlamovin luennolla Moskovan avaruusfysiikan kesäkurssilla 2010.
Merkitään junan nopeutta V:llä, sitä kohden lentävän pallon nopeutta –v:llä. Nämä nopeudet ovat paikallaan olevan Maan suhteen.
Juna on paikallaan
Jos raskas juna on paikallaan ja siihen törmää kevyt pallo täysin kimmoisasti jollain nopeudella, niin pallon uusi nopeus on törmäyksen jälkeen yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen. Tässä siis oletetaan, että junan massa on todella iso verrattuna pallon massaan.
Juna liikkuu
Hypätään (ajatuksissamme) junan kuljettajan paikalle ja juna kulkee nopeudella V. Nyt pallo tulee kohden junaa nopeudella –v – V. Törmäyksen jälkeen nopeus on – ( –v – V) = v + V junan suhteen.
Takaisin Maahan
Hypätään junasta takaisin maan pinnalle. Kun siirrytään takaisin Maan koordinaatistoon, siihen missä juna liikkuu nopeudella V, niin pienen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen on (v + V) + V = 2 V + v.
Tähän liittyen, lukija voi pohtia vaikkapa kuinka korkealle pieni pallo voi pompata, jos se pudotetaan ison pallon päällä lattialle korkeudelta h.
Esitin ongelman artikkelissa Metropallo-ongelma En laita tehtävän antoa tänne näkyville. Niinpä oppilaillani on hieman vaikeampi löytää tätä ratkaisua.
Ratkaisu
Tässä ongelman perinteinen säilymislakeihin ja yhtälön ratkaisuun perustuva ratkaisu.
Oletetaan, että junan massa on M ja pallon massa m. Junan nopeus on V ja pallon -v. Tutkitaan aluksi täysin kimmoisaa yksiulotteista törmäystä. Junan nopeus törmäyksen jälkeen on U ja pallon u.
Kirjoitan ratkaisun GeoGebra 5:n (5.0.570) CAS:iin. Huomaa, että välilyönti muuttujien välissä tarkoittaa kertolaskua.
Liikemäärän ja liike-energian säilymislait tuottavat yhtälöt:
M V – m v = M U + m u
1/2 M V^2 +1/2 m v^2 =1/2 M U^2 +1/2 m U^2
U ja u saadaan ratkaistua komennolla
Ratkaise({$1,$2}, {U, u})
Ratkaisuisiksi tulee kaksi (U, u) arvoa. Ensimmäinen ratkaisu tarkoittaa sitä tilannetta, että pallo menee junan läpi, tällöinkin liikemäärä ja liike-energia säilyvät. Toinen tapaus on realistisempi, se saadaan irti listasta komennolla
Alkio($3,2)
Oletetaan, että junan massa on suuri, vaikkapa 10000 kg ja pallon massa pieni, vaikkapa 0.1 kg. Sijoitetaan arvot Sijoita työkalulla.
Alla Sijoita-työkalun Ikkuna.
Vaikuttaa siltä, että tässä tapauksessa pallon nopeus noin viisinkertaistui eli on lähellä arvoa 25 km/h.
Kuvaaja
Tämä luku on tässä sen takia, että satuin leikkimään kuvaajilla raja-arvoa etsiessäni ja tuo suora ja ellipsi juolahtivat mieleeni.
Kun alkuperäistä yhtälöparia katsoo syvällisemmin ja muuttaa U:n x:ksi ja u:n yksi, niin havaitsee, että liikemäärän säilymislaki tuottaa suoran ja liike-energian yhtälö ellipsin yhtälön. Yksinkertaistetaan tilannetta siten, että M = 100 ja m = 10, näin saadaan simppelimmät kuvaajat eikä tarvitse välittää skaalaamisesta.
Kuvaaja näyttää ratkaisut suoran ja ellipsin leikkauspisteenä.
Muuttamalla liu’un avulla M:n arvoa ja tutkimalla ratkaisupisteen jättämää jälkeä, voisi päästä myös kiinni raja-arvon lukuarvoon. Jätän tämän harjoitustehtäväksi.
Raja-arvo
Tutkitaan pallon nopeuden lausekkeen raja-arvoa, kun M kasvaa suureksi tai m lähestyy nollaa. Nopeuden lausekkeen käyttöön saa ehkä mukavimmin käyttämällä komentoja, jotka muokkaavat 4. solun ratkaisua.
Ratkaisu:=Alkio($4,2)
Nopeus:=OikeaPuoli(Ratkaisu)
RajaArvo(Nopeus, M, Infinity)
Perinteisellä laskennolla tuon edellisen tuloksen saa, kun jakaa Nopeus-lausekkeen osoittajan ja nimittäjän M:llä ja havaitsee, että m/M lähestyy nollaa kun M lähestyy ääretöntä.
GeoGebralla tuon osoittajan jakamisen M:llä olisi saatu aikaiseksi seuraavasti.
Vastaavalla tavalla nimittäjä
Niinpä u = 2 V + v, kun M on iso ja m pieni.
Huomasinpa, että ExpandOnly-komentoa ei löydy suomeksi. Pitääpä selvittää, miksi sitä ei voi kääntää.
Lopuksi
Jätän realistisemman kimmottoman ja 3D maailmassa tapahtuvan törmäyksen tutkimisen alan harrastajille.
Tulevassa tarinassa esitän yksikertaisemman koordinaattimuunnoksiin perustuvan ratkaisun u = 2V + v lausekkeelle.
Kuvitellaanpa seuraavan kaltainen tilanne. Seisot metroradalla (vieressä) ja juna tulee sinua kohden 100 km/h. Olet sopinut metrokuskin ja HKL:n kanssa, että saat heittää kimmoisan pallon kohden metron etuosaa nopeudella 50 km/h.
Kuinka suurella nopeudella pallo ponnahtaa takaisin? Tee tarpeellisia yksinkertaistavia oletuksia, jotta saat tehtävän ratkaistua omalla tavallasi.
Mikä on suurin mahdollinen nopeus, jos junan nopeus on V ja pallon nopeus -v, kun junan massa on suuri ja pallon massa pieni?
Vaikka fysiikka perustuu kokeellisuuteen, niin älä tee tätä koetta metroradan varressa. Käy mieluummin katsomassa demoa Heurekassa.
Heurekasta tuli mieleen aiheeseen liittyvä ongelma. Kevyt pallo on painavan pallon päällä. Pallot pudotetaan korkeudelta h. Kuinka korkealle korkeintaan kevyt pallo nousee törmäyksen jälkeen?
Tämäkin ongelma on alun perin jostain Internetin syövereistä, opin tälle kauniin ratkaisun Moskovan avaruusfysiikan kesäkoulussa 2010. Julkaissen sen täällä lähiaikoina.
Mikon fysiikka ja matikka 