Juna-ongelman perinteinen ratkaisu

Esitin ongelman artikkelissa Metropallo-ongelma En laita tehtävän antoa tänne näkyville. Niinpä oppilaillani on hieman vaikeampi löytää tätä ratkaisua.

Ratkaisu

Tässä ongelman perinteinen säilymislakeihin ja yhtälön ratkaisuun perustuva ratkaisu.

Oletetaan, että junan massa on M ja pallon massa m. Junan nopeus on V ja pallon -v. Tutkitaan aluksi täysin kimmoisaa yksiulotteista törmäystä. Junan nopeus törmäyksen jälkeen on U ja pallon u.

Kirjoitan ratkaisun GeoGebra 5:n (5.0.570) CAS:iin. Huomaa, että välilyönti muuttujien välissä tarkoittaa kertolaskua.

Liikemäärän ja liike-energian säilymislait tuottavat yhtälöt:

M V – m v = M U + m u
1/2 M V^2 +1/2 m v^2 =1/2 M U^2 +1/2 m U^2

U ja u saadaan ratkaistua komennolla

Ratkaise({$1,$2}, {U, u})
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Ratkaisuisiksi tulee kaksi (U, u) arvoa. Ensimmäinen ratkaisu tarkoittaa sitä tilannetta, että pallo menee junan läpi, tällöinkin liikemäärä ja liike-energia säilyvät. Toinen tapaus on realistisempi, se saadaan irti listasta komennolla

Alkio($3,2)

Oletetaan, että junan massa on suuri, vaikkapa 10000 kg ja pallon massa pieni, vaikkapa 0.1 kg. Sijoitetaan arvot Sijoita työkalulla.

Alla Sijoita-työkalun Ikkuna.

Vaikuttaa siltä, että tässä tapauksessa pallon nopeus noin viisinkertaistui eli on lähellä arvoa 25 km/h.

Kuvaaja

Tämä luku on tässä sen takia, että satuin leikkimään kuvaajilla raja-arvoa etsiessäni ja tuo suora ja ellipsi juolahtivat mieleeni.

Kun alkuperäistä yhtälöparia katsoo syvällisemmin ja muuttaa U:n x:ksi ja u:n yksi, niin havaitsee, että liikemäärän säilymislaki tuottaa suoran ja liike-energian yhtälö ellipsin yhtälön. Yksinkertaistetaan tilannetta siten, että M = 100 ja m = 10, näin saadaan simppelimmät kuvaajat eikä tarvitse välittää skaalaamisesta.  

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuvaaja näyttää ratkaisut suoran ja ellipsin leikkauspisteenä.

Muuttamalla liu’un avulla M:n arvoa ja tutkimalla ratkaisupisteen jättämää jälkeä, voisi päästä myös kiinni raja-arvon lukuarvoon. Jätän tämän harjoitustehtäväksi.

Raja-arvo

Tutkitaan pallon nopeuden lausekkeen raja-arvoa, kun M kasvaa suureksi tai m lähestyy nollaa. Nopeuden lausekkeen käyttöön saa ehkä mukavimmin käyttämällä komentoja, jotka muokkaavat 4. solun ratkaisua.

Ratkaisu:=Alkio($4,2)
Nopeus:=OikeaPuoli(Ratkaisu)
RajaArvo(Nopeus, M, Infinity)
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Perinteisellä laskennolla tuon edellisen tuloksen saa, kun jakaa Nopeus-lausekkeen osoittajan ja nimittäjän M:llä ja havaitsee, että m/M lähestyy nollaa kun M lähestyy ääretöntä.

GeoGebralla tuon osoittajan jakamisen M:llä olisi saatu aikaiseksi seuraavasti.

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Vastaavalla tavalla nimittäjä

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Niinpä u = 2 V + v, kun M on iso ja m pieni.

Huomasinpa, että ExpandOnly-komentoa ei löydy suomeksi. Pitääpä selvittää, miksi sitä ei voi kääntää.

Lopuksi

Jätän realistisemman kimmottoman ja 3D maailmassa tapahtuvan törmäyksen tutkimisen alan harrastajille.

Tulevassa tarinassa esitän yksikertaisemman koordinaattimuunnoksiin perustuvan ratkaisun u = 2V + v lausekkeelle.

One Reply to “Juna-ongelman perinteinen ratkaisu”

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Google photo

Olet kommentoimassa Google -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.