Esitin ongelman artikkelissa Metropallo-ongelma En laita tehtävän antoa tänne näkyville. Niinpä oppilaillani on hieman vaikeampi löytää tätä ratkaisua.
Ratkaisu
Tässä ongelman perinteinen säilymislakeihin ja yhtälön ratkaisuun perustuva ratkaisu.
Oletetaan, että junan massa on M ja pallon massa m. Junan nopeus on V ja pallon -v. Tutkitaan aluksi täysin kimmoisaa yksiulotteista törmäystä. Junan nopeus törmäyksen jälkeen on U ja pallon u.
Kirjoitan ratkaisun GeoGebra 5:n (5.0.570) CAS:iin. Huomaa, että välilyönti muuttujien välissä tarkoittaa kertolaskua.
Liikemäärän ja liike-energian säilymislait tuottavat yhtälöt:
M V – m v = M U + m u 1/2 M V^2 +1/2 m v^2 =1/2 M U^2 +1/2 m U^2
U ja u saadaan ratkaistua komennolla
Ratkaise({$1,$2}, {U, u})
Ratkaisuisiksi tulee kaksi (U, u) arvoa. Ensimmäinen ratkaisu tarkoittaa sitä tilannetta, että pallo menee junan läpi, tällöinkin liikemäärä ja liike-energia säilyvät. Toinen tapaus on realistisempi, se saadaan irti listasta komennolla
Alkio($3,2)
Oletetaan, että junan massa on suuri, vaikkapa 10000 kg ja pallon massa pieni, vaikkapa 0.1 kg. Sijoitetaan arvot Sijoita työkalulla.
Alla Sijoita-työkalun Ikkuna.
Vaikuttaa siltä, että tässä tapauksessa pallon nopeus noin viisinkertaistui eli on lähellä arvoa 25 km/h.
Kuvaaja
Tämä luku on tässä sen takia, että satuin leikkimään kuvaajilla raja-arvoa etsiessäni ja tuo suora ja ellipsi juolahtivat mieleeni.
Kun alkuperäistä yhtälöparia katsoo syvällisemmin ja muuttaa U:n x:ksi ja u:n yksi, niin havaitsee, että liikemäärän säilymislaki tuottaa suoran ja liike-energian yhtälö ellipsin yhtälön. Yksinkertaistetaan tilannetta siten, että M = 100 ja m = 10, näin saadaan simppelimmät kuvaajat eikä tarvitse välittää skaalaamisesta.
Kuvaaja näyttää ratkaisut suoran ja ellipsin leikkauspisteenä.
Muuttamalla liu’un avulla M:n arvoa ja tutkimalla ratkaisupisteen jättämää jälkeä, voisi päästä myös kiinni raja-arvon lukuarvoon. Jätän tämän harjoitustehtäväksi.
Raja-arvo
Tutkitaan pallon nopeuden lausekkeen raja-arvoa, kun M kasvaa suureksi tai m lähestyy nollaa. Nopeuden lausekkeen käyttöön saa ehkä mukavimmin käyttämällä komentoja, jotka muokkaavat 4. solun ratkaisua.
Ratkaisu:=Alkio($4,2) Nopeus:=OikeaPuoli(Ratkaisu) RajaArvo(Nopeus, M, Infinity)
Perinteisellä laskennolla tuon edellisen tuloksen saa, kun jakaa Nopeus-lausekkeen osoittajan ja nimittäjän M:llä ja havaitsee, että m/M lähestyy nollaa kun M lähestyy ääretöntä.
GeoGebralla tuon osoittajan jakamisen M:llä olisi saatu aikaiseksi seuraavasti.
Vastaavalla tavalla nimittäjä
Niinpä u = 2 V + v, kun M on iso ja m pieni.
Huomasinpa, että ExpandOnly-komentoa ei löydy suomeksi. Pitääpä selvittää, miksi sitä ei voi kääntää.
Lopuksi
Jätän realistisemman kimmottoman ja 3D maailmassa tapahtuvan törmäyksen tutkimisen alan harrastajille.
Tulevassa tarinassa esitän yksikertaisemman koordinaattimuunnoksiin perustuvan ratkaisun u = 2V + v lausekkeelle.
Mikon fysiikka ja matikka 