Kuvassa on piirretty ympyröitä siten, että niiden sisälle jää 1, 2, 3, ja 4 hilapistettä. Onko tämä aina mahdollista? Hilapisteillä tarkoitetaan sellaisia tason pisteitä, joilla molemmat koordinaatit ovat kokonaislukuja.

Ongelma 1. Olkoon N jokin aidosti positiivinen luonnollinen luku (1, 2, 3, …). Onko mahdollista piirtää tasoon sellainen ympyrä, että ympyrän sisälle jää tasan N kappaletta hilapisteitä.

Ongelma 2. Jos edellinen on totta, niin voidaanko tasolta valita yksi piste, joka on edellisessä ongelmassa kuvailtujen ympyröiden keskipiste.

Ongelma 3. Onnistuuko sama 3-ulotteisessa avaruudessa?

Ongelma 4. Onnistuuko sama M-ulotteisessa avaruudessa. M = 1, 2, 3, 4, …

Tämä ongelma on nimetty erään puolalaisen matemaatikon mukaan. En kerro nimeä, jotta et löydä ratkaisua liian helposti.