Edellisessä artikkelissani pohdiskelin ongelmaa, joka oli versio alkuperäisestä Regiomontanuksen tauluongelmasta vuoden 1471. Alkuperäinen ongelma on tasogeometrian ongelma. Tosimaailmassa taulut asustavat kolmiulotteisessa maailmassa. Miten ongelma muuttuu?
Alla on kuva työhuoneesta, seinällä näkyy Doisneaun valokuvajuliste.
Miten määritellä paikka, mistä taulu silmissäni näyttää suurimmalta, jos liikun tuolillani suoralla, joka on kohtisuoraan seinää vastaan? Mitä tarkoittaa, että taulu näyttää suurimmalta?
Alla on GeoGebran avulla tuotettu malli ongelmasta. Taulu eli suorakaide ABCD on yz- tasossa ja silmä liikkuu x-akselia pitkin.
Ongelma 1. Taulun nurkat ovat pisteissä A = (0, 3, 2), B = (0, 6, 2), C = (0, 6, 4) ja D = (0, 3, 4). Kun piste E liikkuu x-akselilla, niin missä pisteessä lävistäjä AC näkyy suurimmillaan eli missä E:n pisteessä kulma AEC on suurin?
Ongelma 2. Taulun nurkat ovat pisteissä A = (0, 3, 2), B = (0, 6, 2), C = (0, 6, 4) ja D = (0, 3, 4). Kun piste E liikkuu x-akselilla, niin missä pisteessä lävistäjä BD näkyy suurimmillaan eli missä E:n pisteessä kulma BED on suurin?
Ongelma 3. Ratkaise edelliset ongelmat, kun pisteiden koordinaatit ovat A = (0, a, b), B = (0, c, d), C = (0, e, f) ja D = (0, g, h).
Ongelma 4. Taulun nurkat ovat pisteissä A = (0, 3, 2), B = (0, 6, 2), C = (0, 6, 4) ja D = (0, 3, 4). Pisteeseen E piirretään pallo, jonka säde on 1. Pallon pinta leikkaa janan EA pisteessä G, janan EB pisteessä H, janan EC pisteessä I ja janan ED pisteessä F. Muodostetaan kolmiot k1 = FGI ja k2 = GHI. Kun piste E liikkuu x-akselilla, niin missä pisteessä kolmioiden k1 ja k2 alojen summa A on suurin?
Alla näkyy likiarvoratkaisu 4. ongelmaan GeoGebran avustuksella. Oheisessa kuvassa näkyy pisteen (x(E), 15*A) jättämä jälki xy-tasossa, kun pistettä E liikutetaan. x(E) tarkoittaa pisteen E x-koordinaattia ja kolmioiden alojen summan A kertominen luvulla 15 auttaa näkemään eroja alan arvoissa, joka maksimikohdassa (noin 3,5) on noin 0,080.
Ongelma 4. Mikä olisi fiksumpi tapa määritellä ongelma siten, että se ratkaisisi sen kohdan, missä taulu näkyy suurimmillaan?
Regiomontanus eli Johannes Müller von Königsberg (1436 – 1476) oli tähtitieteilijä ja matemaatikko. Hän rakensi laitteita tähtitieteen tutkimuksen avuksi (esim. astrolabi), käänsi antiikin matemaattisia ja tähtitieteellisiä kirjoja, julkaisi omia matemaattisia artikkeleitaan ja taulukkokirjoja trigonometristen funktioiden arvoista. Hän perusti myös kirjapainon, näin hänen julkaisunsa levisivät paremmin maailmalle. Vuonna 1472 hän määritti komeetan etäisyyden, tosin tulos oli jonkin verran pielessä.
Boyerin Tieteiden kuningas-kirjassa Regiomontanusta pidetään 1400-luvun vaikutusvaltaisimpana matemaatikkona ja hänen syntymäänsä uuden aikakauden alkamisen merkkinä. Henk Bosin mukaan Regiomontanus oli ensimmäisenä matemaatikko, joka alkoi käyttää pituuksien likiarvoja geometrisissa laskuissa. Regiomontanuksen mielestä yhteismitattomien lukujen likiarvoja pystyi käyttämään laskuissa. Niinpä vaikkapa luvulle neliöjuuri 2 kertaa sin(25°) pystyttiin laskemaan likiarvo, joka oli todellinen luku. Vasta seuraavalla vuosituhannella Stevin selkeytti lukukäsitettä ja luonnontieteilijöillä oli helpompaa käyttää likiarvoja ja algebraa laskuissaan.
lähteet
Regiomontanus’ angle maximization problem Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus%27_angle_maximization_problem
Regiomontanus Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus
Henk J.M. Bos. Redefining Geometrical Exactness. Springer. 2001
Carl Boyer. Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia osa 1. Art House 1994.
Jätä kommentti