Tutkitaan vanhaa pinta-aloihin liittyvää ongelmaa. Se löytyy Isosta Kirjasta. Olen julkaissut vastaavan tarinan Hyllin vanhoilla veppisivuilla joskus 2011 tai aiemmin. Kahden ensimmäisen ongelman todistaminen on suhteellisen helppoa.

Jäljennän alle GeoGebralla tuotetun kuvan, joka löytyy englanninkielisestä Newtonin Principiasta. Book I. Section II. To find centripetal forces. Proposition I, Theorem I.

Ongelma 1. Olkoot A, B ja S eri pisteitä. Valitaan suoralta AB piste c siten, että janan pituus Bc = AB. Valitaan janalta SB piste V siten, että se on pisteiden S ja B välissä. Valitaan piste C siten, että nelikulmio VCcB on suunnikas. Todista, että kolmioiden SAB, SBC ja SBC pinta-alat ovat yhtä suuret.

Ongelma 2. Jatka samaan malliin. Osoita, että vastaavasti syntyneiden kolmioiden alat ovat yhtä suuret. Huomaa, että alla olevassa kuvassa janojen CD ja  BV pituudet ovat erisuuret.

Ongelma 3. Todista edellisten totuuksien avulla:  Jos kappaleeseen vaikuttaa voima paikallaan olevaa pistettä kohden (keskeisvoima), niin kappaleeseen piirretty jana pyyhkäisee yhtä pitkinä ajanjaksoina pinta-alaltaan yhtäsuuren alueen.

Alla Newtonin tuottama kuva.

Tässä kohtaa Newton osoittaa todeksi Keplerin II lain, todistuksessaan hän antaa kolmioiden lukumäärän kasvaa ja niiden leveyksien lyhentyä loputtomasti. Ollaan differentiaalilaskennan alkulähteillä. 

Seuraavassa Kirjan lauseessa Book I. Section II. To find centripetal forces. Proposition II, Theorem II hän todistaa, että jos kappale kulkiessaan peittää samassa ajassa saman alan, niin silloin kyseessä on keskeisvoima. Jätän tämänkin todistamisen lukijalle.

lähde

Isaac Newton. The Principia. Mathematical Principles of Natural Philosophy. 1726. A New Translation by I. B. Cohen & A. Whitman. University of California Press. 1999

GeoGebra-tiedosto centripetal force
https://www.geogebra.org/m/bwxsvkfv

On the Finding of Centripetal Forces
https://www.greenlion.com/PDFs/NG3-I-1.pdf