Jokin aikaa sitten kirjoitin artikkelin ”Melkein Pythagoraan lause”. Pythagoraan lauseen kuva jäi vaivaamaan mieltäni ja päätinpä tuottaa kolmion sivujen neliöt mielivaltaiselle kolmiolle ja jatkaa kuviota GeoGebran avulla. Seuraavassa joitain totuuksia, joita löysin. 

Ongelma. Todista Lauseet 1 – 7.

Luodaan kolmio ABC, sen pinta-ala on t1.

Luodaan kolmion sivuille nelikulmiot  ABED, CBFG ja ACHI. Niiden pinta-alat ovat poly1, poly2 ja poly3.

Muodostetaan neliöiden kärkiin kolmiot ADI, BEF ja CGH. Näiden pinta-alat ovat t2, t3 ja t4.

Tämä totuus oli esillä jo ”Melkein Pythagoraan lause” -artikkelissani. Todistuskin on aika simppeli.

Lause 1. Vihreiden kolmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret. t1 = t2 = t3 = t4

eikä siinä vielä kaikki

Jatketaan konstruktiota muodostamalla kolmioiden pisimmille sivuille neliöt. Uusien uloimpien neliöiden alat ovat poly4, poly5 ja poly6.

Lause 2. Uloimpien neliöiden alojen summa on kolminkertainen verrattuna sisimpien neliöiden alojen summaan eli

eikä siinäkään vielä kaikki

Jatketaan samalla tavalla. Piirretään nelikulmien kärkiin nelikulmiot (kuvassa punaiset). Näiden pinta-alat ovat q1, q2 ja q3.

Lause 3. Punaisten nelikulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret eli q1 = q2 = q3.

Lause 4. Punaisten nelikulmioiden pinta-ala on viisinkertainen verrattuna vihreiden kolmioiden alaan eli 

vielä lisää

Jatketaan luomalla neliöitä, joiden sivujen pituus on punaisten nelikulmioiden pisimmät sivut. Neliöiden alat ovat poly7, poly8 ja poly9. 

Lause 5. Kolmen uusimman neliön pinta-alojen summa on 16-kertainen verrattuna kolmen ensimmäisen neliön pinta-alojen summaan eli

Piirretään taas nelikulmiot käyttäen apuna neliöiden kärkiä. Sinisten nelikulmioiden pinta-alat ovat q4, q5 ja q6.

Lause 6. Sinisten nelikulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret eli q4 = q5 = q6.

Lause 7. Sinisten nelikulmioiden pinta-ala on 24-kertainen verrattuna alkuperäisen vihreän kolmion kanssa eli

vielä kaksi kierrosta

Kun jatketaan eteenpäin saadaan

Kolmioihin liittyvä lukujono löytyy OEIS-sivulta ”Area of n-th triple of squares around a triangle.” 1, 3, 16, 75, 361, … Aihetta on käsitelty hollantilaisessa Pythagoras-lehdessä Vol 14 artikkelissa ”Vierkantenkransen rond een driehoek” vuonna 1975.

Suorakulmioiden summiiin liittyvä lukujono 1, 5, 24, 115, 551 on OEIS sivulla A004254 a(n) = 5*a(n-1) – a(n-2) for n > 1, a(0) = 0, a(1) = 1. Tätä lukujonoa on tutkinut 1971 Frank A. Haight artikkelissaan ”On a generalization of Pythagoras’ theorem”. A Spectrum of Mathematics. Auckland University Press, 1971.

Kun laskeskelin tätä, niin muistuipa mieleeni ”MRZKM teoreema”. Näissä on jotain samaa!?

lähteet

OEIS A005386 Area of n-th triple of squares around a triangle
https://oeis.org/A005386

OEIS A004254 a(n) = 5*a(n-1) – a(n-2) for n > 1, a(0) = 0, a(1) = 1.
https://oeis.org/A004254

”Vierkantenkransen rond een driehoek ” Pythagoras Vol 14, February 1975
https://pyth.eu/uploads/user/ArchiefPDF/Pyth14-4.pdf

Melkein Pythagoraan lause
https://mikkorahikka.blog/2026/02/10/melkein-pythagoraan-kolmio/

The Pythagorean MRZKM Theorem
https://mikkorahikka.blog/2015/08/25/130/