MIKKO RAHIKKA

The electrical things have their lives too, paltry as those lives are.

Kaksoistähtisysteemin nopeuskuvaajat ovat ympyröitä

Luin jokin aika sitten John Cookin blogartikkelin ”Visualizing orbital velocity”. Opin, että kaksoistähtisysteemissä planeettojen nopeusvektoteiden kuvaajat ovat ympyröitä. Pakkohan tätä on testata.

Loin Googlen Colabin ja Geminin avulla ohjelman, joka tuottaa kaksoistähtisysteemin kappaleiden radat, kappaleiden nopeuksien x- ja y-komponenttien kuvaajat ajan funktiona ja vxvy -kuvaajan. Pyysin Geminiä käyttämään laskennossa Newtonin gravitaatiolakia.

Käytin aluksi Maan ja Kuun massoja, joten simuloinnissa kappaleen 1 massa on Maan massa. Simuloinnin lopullisessa versiossa on käytössä liu’ut, joiden avulla massojen suhdetta, nopeutta ja simulointiaikaa.

Ohessa muutamia kuvia eri tilanteista

Käyttöliittymä, jossa on säätimiä eri muutujille, kuten suhde, kerroin, jakson aloitusaika ja kesto. Alareunassa laskentatuloksia ellipseille.
Kaksi graafia, jotka kuvaavat kahden kappaleen nopeuden x- ja y-komponenttien aikafunktioita, x-akselilla aika (s) ja y-akselilla nopeus (m/s).
Kuvassa on kaksi kappaletta, joiden liikkeitä kuvataan koordinaatistossa. Vasemmalla näkyy kappaleiden sijainti (x, y) ja oikealla niiden nopeudet (Vx, Vy) aikavälin aikana.

Nopeuskuvaaja on ympyrä, vaikka rata on hyperbeli.

Käyttöliittymä, jossa on liukusäätimiä suhteille ja ajanjaksoille, sekä simulaatiohuomautus hyperbolisesta radasta.
Kaavio nopeuden x-komponentista ajan funktiona, vasemmalla, esittää kahden kappaleen nopeuden x-arvot. Oikealla on kaavio nopeuden y-komponentista ajan funktiona, vertaillen samaa kahta kappaletta.
Kahden kappaleen järjestelmän graafit, joissa esitetään radat, massa suhde ja nopeuskuvaja Vx-Vy.

Ongelma 1. Todista, että kaksoistähtijärjestelmässä nopeuksien kuvaajat ovat ympyröitä.

Ongelma 2. Todista käyttäen käyttäen lukiotason fysiikkaa ja matematiikkaa, että kaksoistähtijärjestelmässä nopeuksien kuvaajat ovat ympyröitä.

koodaamisesta

Tämä on ensimmäinen suurempi projektini, jonka olen tehnyt käyttäen pelkästään kehotteita Gemini AI:lle Colabissa. Tein vain pieniä muutoksia ja joitakin käännöksiä liukujen ja kuvaajien otsikoihin. Ensimmäinen kehotteeni oli suurinpiirtein seuraava: ”Simuloi kahden taivaankappaleen välistä gravitaatiovuorovaikutusta, laske niiden kiertoradat numeerisella integroinnilla ja piirrä niiden elliptiset radat.”

Ensin teimme (minä ja Gemini) version Maa-Kuu systeemistä ja tuotimme kuvaajat. Ohjelma piirsi mukavasti kappaleiden paikat yhden jakson aikana. Seuraavaksi teimme tx ja ty -kuvaajat sekä vxvy -kuvaajan. 

Lopuksi pyysin liukuja alkuarvojen muuttamiseen. Ellipsiradoilla liu’ut toimivat hyvin, mutta kun nopeuskerroin oli yli neliöjuuri kaksi (eli kun siirrytään hyperbolisille radoille), niin simulointiajan kanssa tuli pieniä ongelmia. Ongelma ratkesi pienen väittelyn jälkeen, kun lopulta ymmärsimme toisiamme.

Yhteistyö Colabin kanssa on aika mutkatonta, tosi toisinaan sen ymmärryskyky on rajallinen. Tai sitten en vain osaa selittää asioita tarpeeksi yksikäsitteisesti.

Linkki koodiin löytyy lähteet-luvusta.

lähteet

John Cook blogiartikkeli. Visualizing orbital velocity
https://www.johndcook.com/blog/2026/02/16/hodograph/

2 kappaleen probleema -koodi Colabissa
https://colab.research.google.com/drive/1bBfUWITLwb_UdI8eD20Xa6JmbBPbk2qi?usp=sharing

Jätä kommentti

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Mainokset