Kirjoitin tarinan leikistäni lukujen maailmassa.
Jutun pdf-versio löytyy täältä mikonfunktio3 ja juttuun liittyvä SAGE-tiedosto on oheisen linkin takana.
Lyhyt tiivistelmä
Valitaan jokin luonnollinen luku > 2. Jaetaan se tekijöihin ja lasketaan tekijöiden summa. Jatketaan samalla tavalla kunnes sama luku alkaa toistua tai kun päädytään alkulukuun.
Esimerkiksi:
42 = 2*3*7
2 + 3 + 7 = 12
12 = 2*2*3
2+2+3 = 7
Määritellään funktio mr(x) siten että sen arvo on edellä kuvatun iteroinnin lopputulos. Alla muutamia arvoja muodossa (x, mr(x)).
[(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 5), (7, 7), (8, 5), (9, 5), (10,7), (11, 11), (12, 7), (13, 13), (14, 5), (15, 5), (16, 5), (17, 17),(18, 5), (19, 19), (20, 5), (21, 7), (22, 13), (23, 23), (24, 5), (25, 7), (26, 5), (27, 5), (28, 11), (29, 29), (30, 7), (31, 31), (32, 7), (33, 5), (34, 19), (35, 7), (36, 7), (37, 37), (38, 7), (39, 5), (40, 11), (41, 41), (42, 7), (43, 43), (44, 5), (45, 11), (46, 7), (47, 47),(48, 11), (49, 5), (50, 7)]
Muutamia kysymyksiä liittyen aiheeseen
- Todista, että edellä esitetty iterointi päätyy jossain vaiheessa tilanteeseen, että sama luku toistuu.
- Tuntuu siltä, että lukua 4 lukuunottamatta mr -funktion arvot tulevat olemaan alkulukuja. Jätetään tämän asian perustelu todistettavaksi lukijalle.
- Vaikuttaa siltä, että suorien y = x/n läheisyyteen osuu vähän pisteitä jos n > 1 on pariton ja x on riittävän suuri. Miksi?
- Jokainen alkuluku, joka on suurempi kuin 4 voidaan esittää kahden tai useamman alkuluvun summana, vai voiko? Riittääkö edellisen virkkeen todistaminen osoittamaan, että mr:n arvojoukko (kun määrittelyjoukossa ei ole alkulukuja) sisältää kaikki kolmosta suuremmat alkuluvut.
- Kuinka pitkiä ovat f-funktion iteraatiot? f- funktiolla tarkoitetaan alkutekijöiden summaa.
- Todista, että jokainen alkuluku voidaan esittää alkulukujen summana.
- Riittääkö edellisen lauseen todistaminen todistamaan että mr-funktio on hyvin määritelty, eli että jokaisella x:n arvolla f-funktion iteraatio päätyy silmukkaan, jossa sama luku toistuu.
- Todista, että jokainen luku voidaan esittää alkulukujen summana.
- Kuinka monta alkulukua tarvitaan, että jokainen alkuluku voidaan esittää niiden summana. Esimerkiksi 5 = 2 + 3 eli tarvitaan kaksi alkulukua mutta 11 = 7 + 2 + 2 = 5 + 3 + 5 eli tarvitaan kolme alkulukua. Riittääkö kolme alkulukua vai tarvitaanko jollekin alkuluvulle enemmän?
- Miten tilanne muuttuu, jos käytetään f-funktion määrittelyssä luvun alkutekijöitä siten, että summaan hyväksytään vain eri alkuluvut? 18 = 2·3·3 ja f(18) = 2 + 3 = 5.
Jos sinua kiinnostaa kuka lietkin niin kommentoi tai esitä todistuksesi kommentoimalla tätä viestiä.
Aiheesta lisää löytyy kun Googlettaa ”prime farctor sum iteration”.
Mikon fysiikka ja matikka 