Kokeellista matematiikkaa SAGE:lla -tarina

Kirjoitin tarinan leikistäni lukujen maailmassa.

Jutun pdf-versio löytyy täältä mikonfunktio3 ja juttuun liittyvä SAGE-tiedosto on oheisen linkin takana.

Lyhyt tiivistelmä

Valitaan jokin luonnollinen luku > 2. Jaetaan se tekijöihin ja lasketaan tekijöiden summa. Jatketaan samalla tavalla kunnes sama luku alkaa toistua tai kun päädytään alkulukuun.

Esimerkiksi:
42 = 2*3*7
2 + 3 + 7 = 12
12 = 2*2*3
2+2+3 = 7

Määritellään funktio mr(x) siten että sen arvo on edellä kuvatun iteroinnin lopputulos. Alla muutamia arvoja muodossa (x, mr(x)).

[(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 5), (7, 7), (8, 5), (9, 5), (10,7), (11, 11), (12, 7), (13, 13), (14, 5), (15, 5), (16, 5), (17, 17),(18, 5), (19, 19), (20, 5), (21, 7), (22, 13), (23, 23), (24, 5), (25, 7), (26, 5), (27, 5), (28, 11), (29, 29), (30, 7), (31, 31), (32, 7), (33, 5), (34, 19), (35, 7), (36, 7), (37, 37), (38, 7), (39, 5), (40, 11), (41, 41), (42, 7), (43, 43), (44, 5), (45, 11), (46, 7), (47, 47),(48, 11), (49, 5), (50, 7)]

Muutamia kysymyksiä liittyen aiheeseen

  • Todista, että edellä esitetty iterointi päätyy jossain vaiheessa tilanteeseen, että sama luku toistuu.
  • Tuntuu siltä, että lukua 4 lukuunottamatta mr -funktion arvot tulevat olemaan alkulukuja. Jätetään tämän asian perustelu todistettavaksi lukijalle.
  • Vaikuttaa siltä, että suorien y = x/n läheisyyteen osuu vähän pisteitä jos n > 1 on pariton ja x on riittävän suuri. Miksi?
  • Jokainen alkuluku, joka on suurempi kuin 4 voidaan esittää kahden tai useamman alkuluvun summana, vai voiko? Riittääkö edellisen virkkeen todistaminen osoittamaan, että mr:n arvojoukko (kun määrittelyjoukossa ei ole alkulukuja) sisältää kaikki kolmosta suuremmat alkuluvut.
  • Kuinka pitkiä ovat f-funktion iteraatiot? f- funktiolla tarkoitetaan alkutekijöiden summaa.
  • Todista, että jokainen alkuluku voidaan esittää alkulukujen summana.
  • Riittääkö edellisen lauseen todistaminen todistamaan että mr-funktio on hyvin määritelty, eli että jokaisella x:n arvolla f-funktion iteraatio päätyy silmukkaan, jossa sama luku toistuu.
  • Todista, että jokainen luku voidaan esittää alkulukujen summana.
  • Kuinka monta alkulukua tarvitaan, että jokainen alkuluku voidaan esittää niiden summana. Esimerkiksi 5 = 2 + 3 eli tarvitaan kaksi alkulukua mutta 11 = 7 + 2 + 2 = 5 + 3 + 5 eli tarvitaan kolme alkulukua. Riittääkö kolme alkulukua vai tarvitaanko jollekin alkuluvulle enemmän?
  • Miten tilanne muuttuu, jos käytetään f-funktion määrittelyssä luvun alkutekijöitä siten, että summaan hyväksytään vain eri alkuluvut?   18 = 2·3·3 ja f(18) = 2 + 3 = 5.

Jos sinua kiinnostaa kuka lietkin niin kommentoi tai esitä todistuksesi kommentoimalla tätä viestiä.

Aiheesta lisää löytyy kun Googlettaa ”prime farctor sum iteration”.

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Google photo

Olet kommentoimassa Google -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out /  Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.