Miten influenssaepidemia etenee? Luodaan GeoGebralla yksinkertainen malli, joka kuvaa epidemian etenemistä differentiaaliyhtälöiden avulla.

THL:n sivulla ”Influenssakäynnit terveyskeskuksissa” on esitetty viikoittaiset influenssakäynnit terveyskeskuksissa vuosittain 2016-2020.

Mehiläisen sivuilla oli joskus tällainen kuva, nyt en enää löydä sitä.

Influenssakäyrät näyttävät olevan joka vuosi aika saman näköisiä. Miten mallintaa tämän tyyppinen ilmiö. Yksinkertainen matemaattinen malli on luoda yhteys taudille alttiiden yksilöiden (S), infektoituneiden (I) ja parantuneiden (R) välille. Mallia kutsutaa SIR-malliksi.

SIR-malli

Käytetään seuraavia merkintöjä. S = Susceptible eli alttiit yksilöt, I = Infected eli infektoituneet, tartunnan saaneet, sairastuneet yksilöt ja R= Recovered eli immuunit tai parantuneet tai rokotetut.

Tehdään seuraavat oletukset.

Populaation koko on vakio.
Tartunnan saaneiden määrä on verrannollinen sekä alttiiden yksilöiden määrään että infektoituneiden määrään.
- Mitä enemmän on alttiita ja tartuttajia niin tartuntoja tulee enemmän.
- 100 sairasta tartuttaa 1000 alttiin joukossa enemmän kuin 50 sairasta 20 alttiin joukossa.
- Verrannollisuuskerroin on β.
Parantuneiden lukumäärä on suoraan verrannollinen sairastuneiden lukumäärään.
- Parantuneet eivät sairastu enää, heillä on immuniteetti.
- Verrannollisuuskerroin on γ.

SIR-malli differentiaaliyhtälöinä

Usein tämän tyyppisiä differentiaaliyhtälöitä esitetään laatikoiden avulla. Näin on helpompi havainnollistaa miten eri muuttujien määrä muuttuu.

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{dS}}{{dt}} = - \beta \cdot I \cdot S\\
\frac{{dI}}{{dt}} = \beta \cdot I \cdot S - \gamma \cdot I\\
\frac{{dR}}{{dt}} = \gamma \cdot I
\end{array} \right.

Ensimmäinen yhtälö kertoo, että alttiiden S vähenemisnopeus on suoraan verrannollinen alttiiden ja sairauden määrän tuloon. Kolmas kertoo, että immuunien R määrän kasvamisnopeus on suoraan verrannollinen sairastuneiden määrään. Toinen kertoo sairastuneiden I määrän muutoksen.

Malli differenssiyhtälönä

Differenssiyhtälössä aikaväli muutetaan sopivan pieneksi luvuksi Δt. Mitä pienempi se on, niin sitä paremmin numeerisesti ratkaistu malli kuvaa alkuperäistä differentiaaliyhtälöä.

Noista yhtälöistä on helppoa kirjoittaa koodia jollain ohjelmointikielellä tai taulukkolaskennalla. Taulukkolaskentaohje löytyy vaikkapa Jonaksen ja Thomaksen kirjasta Mathematical Modeling – Applications with GeoGebra. Kirjan mallitiedostoon löytyy linkki tarinan lopusta.

Differentiaaliyhtälönä

GeoGebra (sekä 5 ja 6) osaa ratkoa numeerisesti tämän tyyppisiä differentiaaliyhtälöitä. Annetaan ensin alkuarvot. Kirjoita aluksi alkuarvot syöttökenttään:
S_0= 10000
I_0= 1
R_0= 0
β = 0.0005
γ = 1.5

Tässä vaiheessa kannattaa tehdä betasta ja gammasta liu’ut. Beeta saa arvoja välillä 0, …, 0.001, animaatioaskel 0.00001 ja gammalle arvot 0,…,5 animaatioaskeleella 0.1. Kokeile itse lopuksi, mitkä ovat mielekkäät luvut mallissasi. Vaikka differentiaaliyhtälöissä muuttujana on aika t, niin annan GeoGebran ratkoa yhtälöt siten, että muuttujana on x. Kirjoitetaan ensin varsinaiset differentiaaliyhtälöt:

S'(x, S, I, R) = -β*S*I
I'(x, S, I, R) = β*S*I -γ*I
R'(x, S, I, R) = γ*I

Differentiaaliyhtälöryhmä ratkaistaan komennolla:

NRatkaiseDY({S’, I’, R’}, 0, {S_0, I_0, R_0}, 30)

NRatkaiseDY-komennon ensimmäinen syöte on lista, jossa on ratkaistavat yhtälöt (derivaatat), toisessa x:n alkuarvo, kolmannessa lista, jossa on funktioiden alkuarvot ja neljäs on x:n loppuarvo.

Ratkaisuna GeoGebra tuottaa kolme funktiota (S, I, R): numeerinenintegraali1, numeerinenintegraali2, numeerinenintegraali3.