Tässä ongelmassa tutkitaan säännöllisiä monikulmioita, joiden kärjet ovat yksikköympyrällä. Kuinka suuri on alaltaan suurin kolmio, joka mahtuu monikulmion sisälle?

Käytän esimerkkinä yksikköympyrään piirrettyä säännöllistä heptagonia eli seitsenkulmiota A₁, A₂, … , A₇. Kun tätä ongelmaa alkaa pohdiskella, niin huomaa aika aikaisessa vaiheessa, että alaltaan suurimman kolmion kärkien täytyy olla monikulmion sivuilla tai kärkipisteissä.

Tein GeoGebralla Monikulmio ja Piste objektilla -työkaluilla apuvälineen, jonka avulla ongelmaa voi ratkaista kokeilemalla. Varsinaisessa järkeilyssä tarvitsen kynää, paperia, CASia ja ehkä myös Python koodausta.

Säännöllisessä seitsenkulmiossa alaltaan suurin kolmio on A₁A₃A₆ tai sellaiset kolmiot, jonka kärjistä yksi on sivulla A₁A₂ ja kaksi kärjissä A₃ ja A₆. Tietysti monia muitakin kolmioita löytyy, kun näitä tapauksia kierretään tai peilataan.

Seuraavissa tehtävissä säännöllisien monikulmioden kärjet ovat yksikköympyrällä.

Ongelma 1. Todista, että säännölliselle seitsenkulmiolle piirretyistä kolmioista suurin on pinta-alaltaan noin 1.1918697817.

Ongelma 2. Säännölliseen N-kulmioon piirretään pinta-alaltaan suurin kolmio. Kuinka suuri on sen pinta-ala?

Ongelma 3. Jos N on tasan jaollinen luvulla 3, niin kaikki alaltaan suurimmat kolmiot ovat yhtäsuuria. Miksi?

---

Palaan tähän tehtävään lähiaikoina, kun saan omat laskuni tarkistettua.