Avainsana: symmetria

Posted on

Monikulmioympyrät

Innostuin näistä geometrisista kuvioista, kun näin niitä georgialaisen Pridon Davlianidzen postauksissa Facebookin Geomath-ryhmässä. Hän on julkaissut suuren määrän matemaattisia taideteoksia. Ne perustuvat symmetrisiin kuvioihin, jotka tuotetaan säännöllisistä monikulmioista.

Luon pisteet A ja B. Niiden avulla muodostan säännöllisen viisikulmion BACDE, GeoGebrassa valitaan säännöllinen monikulmiotyökalu ja valitaan pisteet B ja A tässä järjestyksessä. Seuraavaksi käytän pisteitä D ja C ja luon niiden avulla säännöllisen viisikulmion DCFGH. Jatkan laatoitusta samalla tapaa 10 viisikulmion saakka. Syntyy kuvio, jota kutsun nimellä säännöllinen monikulmioympyrä. Jos joku keksii tällaisille olioille fiksumman nimen, niin kertokoon minulle.

Toki kolmioilla ja neliöilläkin  saa aikaan säännölliset monikulmioympyrät, mutta niiden sisään ei muodostu ”reikää”.

Säännöllisillä 6-kulmioilla saadaan kaksi monikulmioympyrää.

Säännöllisillä 7-kulmioilla saadaan tällä menetelmällä yksi ympyrä, jossa on 14 säännöllistä 7-kulmiota.

Tehtäviä

Tässä vaiheessa herää joitakin kysymyksiä.

Tehtävä 1. Voiko kaikilla säännöllisillä n-kulmioilla tuottaa säännöllisiä monikulmioympyröitä?

Tehtävä 2. Millä n:n arvoilla saadaan aikaiseksi erilaisia säännöllisiä monikulmioympyröitä, esimerkiksi kun n = 6 voidaan tehdä kaksi erilaista monikulmioympyrää, mutta kun n on 3, 4, 5 tai 7, niin vain yksi.

Tehtävä 3. Mitä jos käytetään kahta erilaista säännöllistä monikulmiota, kuten kuvassa. Voiko kaikilla sellaisilla laatoilla, jotka on luotu kahdesta säännöllisestä monitahokkaasta luoda ympyrän?

Tehtävä 4. Todista, että 

\sum_{i=0}^{n-1}\sin\left(\frac{i\cdot2\pi}{n}\right)=0

käyttämättä apuna CAS-laskimia. Tee sama myös kosinille.

tarkempi määrittely ongelmalle

Merkitään monikulmiot siten, että niiden luomisen järjestysluku laitetaan yläindeksiin, esimerkiksi kolmas monikulmio on A3. Vastaavasti monikulmion pisteet numeroidaan alaindekseihin.

Todistettava lause
Olkoon 

A^1=A_0^1A_1^1\ ...\ A_{n-1}^1

säännöllinen n-kulmio.  Luodaan uusi säännöllinen monikulmio 

A^2=A_m^1A_{m-1}^1\ A_2^2...\ A_{n-1}^2

Jatketaan näin eli uusi säännöllinen monikulmio koostuu pisteistä

A^{p+1}=A_m^pA_{m-1}^p\ A_3^{p+1}...\ A_{n-1}^{p+1}

Tällöin jokaista lukua n (>2) vastaa ainakin yksi luku m ≤ (n+1)/2 siten, että kun laatoitusta jatketaan r kertaa , niin monikulmiot muodostavat suljetun ”ympyrän”. Monikulmioilla ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin yhteiset sivut.  Tällöin 

A^{r+1}=A^1

eli

\begin{cases} A_3^r&=A_0^1\\ A_2^r&=A_2^1 \end{cases}

Esimerkiksi kun n = 5, niin m = 3 ja r = 10.

Olipa haastavaa kirjoittaa tuo yleinen lause, saisikohan sen jotenkin fiksummin ilmaistua?

Tuotin osan kuvista GeoGebralla ja loput Pythonin kilpikonnagrafiikalla. Julkaisen koodini lähipäivinä, kunhan olen siivonnut koodini.

Lähteet

Geomath-ryhmä Facebookissa
https://www.facebook.com/groups/2224201757729993/?multi_permalinks=2563768697106629&notif_id=1677585820634466&notif_t=group_activity&ref=notif

Advertisement