Pentagrammiharjoitus

GeoGebra-tiedosto löytyy täältä.

Aloitin taideteokseni teon pentagrammin luomisella. Yleensä teen sen käyttäen Säännöllinen monikulmio -työkalua ja sen jälkeen piirrän pentagrammin sännöllisen viisikulmion kärkien kautta. Tällä kertaa päätin kokeilla kulmatyökalua, kun kerran tiedän, että pentagrammin kärki on 36°

Ensin loin kaksi pistettä A ja B. Kulma: koko annetaan -työkalun avulla, käyttämällä pisteitä A ja B, loin 36° kulman vastapäivään. Samalla GeoGebra tuotti pisteen A’, sen etäisyys pisteestä B on yhtä suuri kuin jana AB. Seuraava kärki tuli samalla tavalla: Kulma: koko annetaan pisteet B ja A’ sekä kulma 36° vastapäivään. Loput kärjet A’’ ja B’’ tulivat samalla tavalla.

Lopulta loin pentagrammin Monikulmiotyökalulla valitsemalla pisteet A, B, A’, B’, A’’ ja lopuksi A. Pentagrammin nimeksi tuli kuvio1.Tässä vaiheessa piilotin pisteiden ja janojen nimiä ja muutin pentagrammin värit mieleisekseni.

Koska tarvitsin pentagrammia monta kertaa konstruktiossani, niin päätin tehdä siitä oman työkalun. Kun luo työkalun niin, samalla GeoGebra   luo myös komennon, jota voi käyttää muiden komentojen syötteenä.

Valitsin Työkalut -valikosta Luo työkalu. Tulosobjektiksi valitsin kuvio1:n sekä pentagrammin sivut eli janat : a, a’, a’’, b ja b’. Lähtöobjekteiksi valitsin pisteet A ja B. Työkalun ja komennon nimeksi valitsin viisi.

Nyt pystyin kokeilemaan uutta työkaluani. Kirjoitin syöttökenttään:

Viisi[A’, A’’] ja Viisi[G, H].
Uudet pikkupentagrammit osuivat mukavasti kohdalleen.

Seuraavaksi mietin, minne tuo pikkupentagrammin G-piste syntyi. Koska pentagrammissa esiintyy kultainen leikkaus niin monessa kohtaa, arvasin että suhde A’G/AA’ = q, missä q on kultaisen leikkauksen luku ? 0,618. Seuraavan pikkupentagrammin vastaavalla pisteellä J olisi voimassa suhde JG/GA’ = g.  Niinpä janojen AA’, A’G, GJ, …, pituudet muodostavat geometrisen jonon
(AA’, q AA’, q² AA’, …).

Kirjoittamalla syöttökenttään q = (sqrt(5) – 1) / 2 loin kultaisen leikkauksen luvun. Seuraavaksi loin listat jotka tuottivat minulle yhdellä kertaa pikkupentagrammien luomiseen tarvittavat pisteet.

lista1 = Jono[A + Vektori[A, A’] (1 – q^k) / (1 – q), k, 0, 15]
lista2 = Jono[B + Vektori[B, A”] (1 – q^k) / (1 – q), k, 0, 15]

Nuo komennot kaivannevat hieman selitystä. Jos sinulla on GeoGebrassa kaksi pistettä P ja Q (origo on O ) niin vektorin OP + 3*PQ päätepiste löytyy komennolla P + Vektori[PQ].

GeoGebran Jono[ , , , , ] –komento tuottaa listan, jonka alkioina ovat -kohdassa määritellyt GeoGebran objektit. Ne voivat olla mitä tahansa GeoGebran objekteja: lukuja, funktioita, geometrian olioita, 3D-objekteja, toisia listoja, …. on indeksöinnissä käytettävän muuttujan nimi,   indeksin ensimmäinen arvo,  viimeinen arvo ja on indeksöintiaskeleen pituus, oletuksena se on 1. Esimerkiksi Jono[2i, i, 1, 5] tuottaa listan parillisista luvuista {2, 4, 6, 8, 10}.

Nyt edellä mainittu lista1:n määritelmä Jono[A + Vektori[A, A’] (1 – q^k) / (1 – q), k, 0, 15] on ehkä hieman ymmärrettävämpi.

Jono-komennon ensimmäinen muuttuja A + Vektori[A, A’] (1 – q^k) / (1 – q) tuottaa pisteen joka on vektorin päätepiste OA+tAA’, missä t on geometrisen jonon summa.

Seuraavaksi loin Jono-komennon avulla paljon pikkukolmioita käyttämällä aiemmin luomaani viisi-komentoa.

lista3 = Jono[viisi[Alkio[lista1, j], Alkio[lista2, j]], j, 1, 15].

Tarvitsin vielä pisteen taideteokseni keskipisteeksi. Sen löysin luomalla suorat, jotka kulkivat pisteiden A ja A’ sekä B ja A’’ kautta. Näiden leikkauspisteessä (C) pitäisi olla äärettömän pieni pentagrammi vai onko siellä äärettömän monta äärettömän pientä pentagrammia vai…

Ja lopuksi käytin GeoGebra Kierto ja Jono -komentoja apuna lopullisen kuvion tuottamiseen.

GeoGebran Kierto[ , , ] kiertää -muuttujan pisteen suhteen kulman  verran.

Lopullinen taideteos syntyi komennolla Jono[Kierto[lista3, (k 36°), C], k, 1, 9].

Alkuperäinen idea tähän työhön tuli kun näin twitterissä kuvan joka löytyy tältä sivulta. Jotenkin päähäni ilmesty ajatus, että tuota kiertämällä 36° ja jatkamalla molempiin suuntiin saa kivasti peitettyä koko tason. Vissiin se on ollut alkuperäisen taiteilijankin ajatus. Taiteilija julkaisee teoksiaan Regolo-nimellä Tumblr-palvelussa.

M