Pelaat peliä vastustajan kanssa, vaikkapa kivi-paperi-sakset, shakki tai backgammon tms. Ottelun voittaa, kun voittaa kaksi peliä peräkkäin. Millä todennäköisyydellä voitat, jos sinulla yksittäisen pelin voittotodennäköisyys on p? Tämä on kiva harjoitus todennäköisyyslaskennasta ja geometrisesta jonosta.

Tämän ongelman voi ratkaista monellakin tapaa. Kun tekoälyiltä kysyy, niin usein niiden ratkaisut perustuvat Markovin ketjuihin. Minulle selkeämpää on pohdiskella sitä, millä todennäköisyydellä voitan toisessa, kolmannessa, … pelissä. Sitä kautta pääsen myös käsiksi odotusarvon laskemiseen.

voiton todennäköisyys

Jos minun voittotodennäköisyyteni yksittäisessä pelissä on p, niin silloin vastustajani voittotodennäköisyys on q = 1 – p.

Voitan toisessa pelissä voittamalla ensimmäisen ja toisen pelin eli todennäköisyydellä p·p. Merkitään P(n) = ”Todennäköisyys, että voitan n:nnessa pelissä”. Niinpä P(2) = p·p = p².

Jotta voin voittaa kolmannessa pelissä, niin minun täytyy ensin hävitä ensimmäinen peli ja voittaa seuraavat eli P(3) = q·p·p = q·p². 

Kun tätä jatkaa, niin huomaa, miten q:n ja p:n potenssit muuttuvat n:n kasvaessa. Seuraavassa taulukossa on muutamia ensimmäisiä potensseja eri n:n arvoilla.

n	q:n potenssi	p:n potenssi
2	0	2
3	1	2
4	1	3
5	2	3
6	2	4
7	3	4
8	3	5
9	4	5
10	4	6

Kun tuota taulukkoa katselee, niin  nopeasti huomannee, että kannattaa tutkia parillisia ja parittomia parillisia n:n arvoja erikseen.

Parillisilla n:n arvoilla P(n) todennäköisyydet ovat muotoa

Nöin todennäköisyys, että voitan parillisella saadaan laskemalla
P(2) + P(4) + P(6) + … = P(2·1) + P(2·2) + … + P(2 k)+ …, missä k saa arvot 1, 2, 3,…

Ongelma 1. Osoita, että järjestynumeroltaan parillisessa pelissä voittamisen todennäköisyys on 

Ongelma 2. Osoita, että parittomissa peleissä voittamisen todennäköisyys on 

Ongelma 3. Osoita, että voitan ottelun todennäköisyydellä

Muutamia arvoja, p on erän voiton todennäköisyys ja tn on ottelun voiton todennäköisyys.

Kuvaajassa P(p)-funktion kuvaaja.

voiton odotusarvo

Nyt kun tiedämme P(n) arvon kaikilla n:n arvoilla, on helppoa laskea odotusarvo. Jos et halua käyttää apuna CAS-laskimien ja tekoälyn lähes rajatonta laskuvoimaa, niin saat apua derivoimalla geometrisen jonon summakaavan 

Ongelma 4. Osoita, että voittoni (järjestysnumeron) odotusarvo on

Vastustajan voiton odotusarvon E_V  saa korvaamalla edellisessä kaavassa p:n (1 – p):llä

Ongelma 5. Osoita, että ottelun keston odotusarvo E = E_M + E_V on

python koodi

Tässä vaiheessa aloin epäilemään laskujani. Varsinkin tuo pelimäärän kuvaaja epäilytti (aluksi). Niinpä pyysin Geminiä tuottamaan Colabissa Python koodin, jonka avulla pelasin 1000 ottelua eri p:n arvoilla 0, 0.1, … 0.9, 1.

Koodin tuottamia kuvaajia.

Simuloinnin tuottamat kuvaajat vastaavat laskujeni tuloksia. Niinpä en enää epäile laskujani, varsinkin kun kaksi neljästä käyttämistäni tekoälyistä sai samat tulokset.