Muutama viikko sitten kirjoitin ”Voitto kahden erolla” -artikkelin, jossa pohdin millä todennäköisyydellä voitan pelin, jos voittoon tarvitaan kahden erävoiton ero ja minä voitan erän todennäköisyydellä p. Tarkastellaan nyt ottelua, missä voittoon tarvitaan tasan 5 erävoittoa eli paras yhdeksästä.

Pelataan ottelu, jossa pelataan erävoitoista, vaikkapa snookeria tai backgammonia, kunnes toinen pelaajista voittaa 5 erää. Minä voitan erän todennäköisyydellä p ja vastustajani todennäköisyydellä q = 1 – p. Millä todennäköisyydellä voitan ottelun?

Helpointa on alkaa tutkia tilannetta pienemmillä pelien määrillä. Näin saadaan mielikuva siitä miten tilanne muuttuu, kun voittojen määrää kasvatetaan.

Merkitään  P(n, k):lla todennäköisyyttä sille, että voitan ottelun kun voittoon tarvitaan n voittoa ja vastustaja voittaa tasan k voittoa sekä P(n):llä todennäköisyyttä sille, että voitan ottelun kun voittoon tarvitaan n voittoa.

P(1) on helppo tapaus. P(1) = P(1, 0) =  p.  

P(2) voi toteutua joko kahdessa pelissä tai kolmessa pelissä.  P(2, 0) = p^2 ja P(2, 1) = pqp + qpp = 2p²q. Niinpä
P(2) = p² + 2p²q = p² + 2p²(1 – p) = 3p² – 2p³ . 

P(3) on jo hankalampi. Voittoni voi tulla kolmessa, neljässä tai viidessä pelissä.
P(3, 0) = p³
P(3, 1) =   ppqp + pqpp + qppp = 3p³q
P(3, 2):n laskennassa pyysin Gemini AI:ltä: ”Kirjoita kaikki kombinaatiot kirjaimille pppqq. Kirjoita ne listaksi pilkuilla eroteltuna.” 

Gemini vastasi:”Kirjaimista pppqq voidaan muodostaa seuraavat 10 erilaista yhdistelmää: pppqq, ppqpq, ppqqp, pqppq, pqpqp, pqqpp, qpppq, qppqp, qpqpp, qqppp”.

Näistä P(3, 5):n laskemiseen ei kelpaa pppqq, ppqpq, pqpqp, ja qpppq, sillä näissä olen jo voittanut neljännessä erässä. Eli vain sellaiset kelpaavat, missä p on viimeisenä.

Niinpä P(3) = p³ + 3p³q  + 6p³q² . GeoGebran CAS:in avustuksella lausekkeen sieventäminen nopeutuu.

Tässä vaiheessa alan hahmottaa miten saan laskettua P(5):n. Jotta voitan viidellä erävoitolla vaikkapa seitsemässä erässä, niin minun on voitettava kuudessa erässä tasan neljä erää ja sen jälkeen seitsemäs erä. Tällä ajattelutavalla en tule sekoittaneeksi laskuihin mukaan tapauksia, jossa olen jo aiemmin voittanut.

Kombinaatioiden avulla on helppo laskea, kuinka monella eri tavalla voin olla johdossa neljällä voitolla. Seuraavassa lausekkeessa sulkeiden sisällä ensimmäinen termi kertoo todennäköisyyden, että johdan 4-0, toinen 4-1, kolmas 4-2 jne. Lopussa kertominen p:llä kertoo, että voitan viimeisen pelin.

Alla kuvaaja 

Samalla logiikalla saadaan yleiseksi lausekkeeksi 

Laskin GeoGebran avulla muutamia ensimmäisiä P(n):n arvoja, n =1, 2, ….15. GeoGebralla määrittelin P(n):n oheisella tavalla. Funktion P(n, p) toinen muuttuja kertoo, millä kirjaimella merkitsen yhden erävoiton voittotodennäköisyyttä.

P(n, p):=Sum(((nCr(n + i - 1, i) * p^(n)) * (1 - p)^(i)), i, 0, n - 1)

Jono-komennon avulla sain listan ensimmäisistä todennäköisyysfunktioista.

Jono(P(m,x),m,1,10) 

{x,
-2 x³ + 3x²,
6x⁵ – 15x⁴ + 10x³,
-20 x⁷ + 70x⁶ – 84x⁵ + 35x⁴,
70x⁹ – 315x⁸ + 540x⁷ – 420x⁶ + 126x⁵,
-252 x¹¹ + 1386x¹⁰ – 3080x⁹ + 3465x⁸ – 1980x⁷ + 462x⁶,
924x¹³ – 6006x¹² + 16380x¹¹ – 24024x¹⁰ + 20020x⁹ – 9009x⁸ + 1716x⁷,
-3432 x¹⁵ + 25740x¹⁴ – 83160x¹³ + 150150x¹² – 163800x¹¹ + 108108x¹⁰ – 40040x⁹ + 6435x⁸,
12870x¹⁷ – 109395x¹⁶ + 408408x¹⁵ – 875160x¹⁴ + 1178100x¹³ – 1021020x¹² + 556920x¹¹ – 175032x¹⁰ + 24310x⁹,
-48620 x¹⁹ + 461890x¹⁸ – 1956240x¹⁷ + 4849845x¹⁶ – 7759752x¹⁵ + 8314020x¹⁴ – 5969040x¹³ + 2771340x¹² – 755820x¹¹ + 92378x¹⁰}

Kuvaajat piirsin komennolla

Jono(Jos(0 ≤ x ≤ 1, P(j, x)), j, 1, 15)

Tässä yhteydessä huomasin, että suuremmilla n:n arvoilla polynomien piirtoon tulee jo laskennallista virhettä. Alla P(18,x) :=-2333606220 x³⁵ + 40838108850x³⁴ – 336605018400x³³ + 1735619626125x³² – 6270625746000x³¹ + 16847081170920x³⁰ – 34856030008800x²⁹ + 56729967208200x²⁸ – 73538846381000x²⁷ + 76367263549500x²⁶ – 63537563273184x²⁵ + 42117702927300x²⁴ – 21974453701200x²³ + 8835881733000x²² – 2644753716000x²¹ + 555398280360x²⁰ – 73078721100x¹⁹ + 4537567650x¹⁸

Jossain vaihetta kyselin ratkaisua tähän ongelmaan ilmaisilta tekoälyiltä. Parhaiten minua auttoi Claude. Se toki antoi ”oikean” ratkaisun, mutta sen selitykset eivät juurikaan auttaneet minun älyäni ymmärtämään ratkaisua, ennen kuin itse olin älynnyt, miten löytää oma ratkaisuni. Clauden ratkaisu on 

Clauden sieventämä kaava, joka löytyy verkosta useammaltakin sivulta.

Ongelma: Osoita, että Clauden kaavat ja minun tuottamani kaava ovat yhtä suuret kaikilla n:n arvoilla 1, 2, …

Claude antoi kaavansa GeoGebran ymmärtämässä muodossa:

P(n, p) := Sum(nCr(2n - 1, k) * p^k * (1 - p)^(2n - 1 - k), k, n, 2n - 1)

Kun antaa GeoGebran sieventää P(n,p):n lausekkeen, niin GeoGebran CAS käyttää sievennetyssä lausekkeessa gamma-funktiota Γ(x). 

Gamma on kertomafunktion x! yleistys. Kun muuttuja x on luonnollinen luku (>1) , niin Γ(n) = (n-1)!. Niinpä 

Näin kaavani sievenee myös tällaiseen muotoon ilman kombinaatiofunktiota nCr.

lopuksi

Pitänee palata tähän ongelmaan lähiaikoina. Pitää tutkia myös kuinka suuri odotusarvo on ottelun erien lukumäärälle jos voitan ja erien lukumäärän odotusarvo riippumatta siitä kumpi voittaa.

lähteet

”formula for winning a best of n series?”-keskustelu Reddit-palvelussa
https://stats.stackexchange.com/questions/447212/formula-for-winning-a-best-of-n-series

John D. Cook. Best-of-five versus Best-of-seven.
https://www.johndcook.com/blog/2023/10/22/best-of-n-series/

GeoGebran matemaattiset funktiot, gamma-funktio löytyy täältä
https://geogebra.github.io/docs/manual/en/Predefined_Functions_and_Operators/

Gamma Wikipediassa
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Voitto kahden erolla -blogiartikkeli
https://mikkorahikka.blog/2026/08/03/voitto-kahden-erolla/