Keskiarvon matematiikkaa on aika yksinkertaista, tehdäänpä siitä pieni ongelma. Onko kaikkien koearvosanojen keskiarvo aina yhtä suuri kuin oppilaiden keskiarvojen keskiarvo?

Kuvitellaan, että meillä on neljä oppilasta, tässä nimet on valittu hallituksen kotisivuilta. Tein Google Sheetsillä taulukon, jossa on neljän oppilaan saamat arvosanat viidestä kokeesta. Nuo arvosanat valitsin luvuista 4, 5, …, 10. Laskin kaikkien arvosanojen keskiarvon soluun B6 kaavalla

=Average(B2:F5)

ja keskiarvosarakkeelle oppilaiden keskiarvot, Petterille soluun G2 kaavalla

=AVERAGE(B2:F2)

 ja muille oppilaille samalla tavalla monistamalla alaspäin. Lopuksi laskin soluun G6 keskiarvojen keskiarvon kaavalla

=Average(G2:G5).

Annetaan kaikkien arvosanojen keskiarvolle nimi L ja keskiarvojen keskiarvolle K.

Kun antaa Sheetsin arpoa eri lukuja opiskelijoiden arvosanoille niin huomaa, että L = K jokaisen arpomisen jälkeen.

Ongelma 1. Todista, että jos 5×4 taulukon jokaiseen soluun sijoitetaan lukuja, niin kaikkien lukujen keskiarvo on yhtä suuri kuin rivien keskiarvojen keskiarvo.

Ongelma 2. Todista, että jos n x m (n ja m 1, 2, 3, …  ) taulukon jokaiseen soluun sijoitetaan lukuja, niin kaikkien lukujen keskiarvo on yhtä suuri kuin rivien keskiarvojen keskiarvo.

Mitä jos osa oppilaista on ollut poissa joistain kokeista, mitä silloin tapahtuu. Tehdään esimerkki, jossa Riikka, Joakim ja Elina ovat toisinaan poissa kokeista ja ope ei ehdi/jaksa/viitsi tehdä heille uusintakokeita.

Arvotaan muutaman kerran arvosanoja tällaisessa tapauksessa.

Huomataan, että välillä L on suurempi kuin K ja välillä toisinpäin.

Ongelma 3. Kuvaile sanallisesti miten luvut ovat jakautuneet edellisissä esimerkeissä kun L > K  ja L > K. 

Ongelma 4. Alla olevassa taulukossa on oppilaiden arvosanat kokeista. Petteri sai kokeista arvosanat a, b, c, d, ja e, Riikka arvosanat f, g, h,ja  i, Joakim arvosanat  j, k, l ja Elina arvosanat m ja k. Luo kaava, joka kertoo millaisessa tapauksessa oppilaiden koekeskiarvojen keskiarvo K on suurempi kuin kaikkien kokeiden  keskiarvo L.

Toki tämän viimeisen tehtävän voisi yleistää, tällöin ongelmaksi tullee kirjainsymboleiden ja indeksien suurehko lukumäärä. Jätän yleisen tapauksen pohdiskelun lukijalle :o)

Jos haluat käyttöösi käyttämäni Sheets-tiedoston, niin pyydä.