Edellisessä artikkelissani ”Voitto viidellä erävoitolla eli paras yhdeksästä” tutkin otteluvoittoni todennäköisyyttä, jos voitan erän todennäköisyydellä p. Tässä tutkin ottelun erien lukumäärän odotusarvoa.

Jos erävoittoni todennäköisyys on p ja pelataan n:ään voittoon saakka, niin ottelun voiton todennäköisyys on

Kun i saa arvon 0, niin se tarkoittaa voittoani 5-0 eli pelataan viisi erää, kun i = 1 lopputulos on 5-1 eli pelataan kuusi erää, jne. Niinpä, jos voitan on pelien lukumäärän odotusarvoa laskettaessa kutakin i:n arvoa laskettaessa on todennäköisyyden lauseke kerrottava erien lukumäärällä eli i + n:llä.

Tässä GeoGebrakaava tekstinä ja kuva Classic 6 CAS-ikkunasta. Kuvan f(x) vastaa V(5)-funktiota.

V(n,p):=Sum((i+5) nCr(n+i-1, i) p^(n) (1-p)^(i), i, 0, n-1)

Saan vastustajani erävoittojen lukumäärän T(p) korvaamalla V(n)-kaavassa p:n 1 – p:llä. Helpoimmin se käy käyttämällä GeoGebran V(n, p) funktiota p:n arvon tilalla 1-p:tä.

Koko ottelun erien odotusarvo E(n) = V(n) + T(n) 

Komento

Jono(E(m,x),m,1,10)

tuottaa 10 ensimmäistä odotusarvofunktiota.

{1, 
-2 x^2 + 2x + 2, 
6x^4 – 12x^3 + 3x^2 + 3x + 3, 
-20 x^6 + 60x^5 – 52x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 4, 
70x^8 – 280x^7 + 395x^6 – 205x^5 + 5x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 5x + 5, 
-252 x^10 + 1260x^9 – 2436x^8 + 2184x^7 – 786x^6 + 6x^5 + 6x^4 + 6x^3 + 6x^2 + 6x + 6, 
924x^12 – 5544x^11 + 13566x^10 – 17010x^9 + 11018x^8 – 2996x^7 + 7x^6 + 7x^5 + 7x^4 + 7x^3 + 7x^2 + 7x + 7, 
-3432 x^14 + 24024x^13 – 71016x^12 + 113784x^11 – 104616x^10 + 52632x^9 – 11432x^8 + 8x^7 + 8x^6 + 8x^5 + 8x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 8x + 8, 
12870x^16 – 102960x^15 + 356499x^14 – 693693x^13 + 821007x^12 – 592713x^11 + 242667x^10 – 43749x^9 + 9x^8 + 9x^7 + 9x^6 + 9x^5 + 9x^4 + 9x^3 + 9x^2 + 9x + 9,
-48620 x^18 + 437580x^17 – 1736020x^16 + 3969680x^15 – 5730010x^14 + 5355350x^13 – 3171850x^12 + 1091750x^11 – 167950x^10 + 10x^9 + 10x^8 + 10x^7 + 10x^6 + 10x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 10x + 10}

Tein Pythonilla koodinpätkän, jonka avulla pelasin 1000 ottelua viiteen erävoittoon erävoiton todennäköisyyksillä p = 0, 0.1, 0.2, …0.9, 1. Tämä käynee jonkin sortin tarkistuksesti, että olen laskenut edellä oikein. Vasemmassa kuvaajassa näkyy ottelujen lukumäärä, pelattujen erien kokonaismäärän ja eri todennäköisyydet. Oikeassa kuvaajassa on voittojen lukumäärä eri p:n arvoilla.

Tässä on laskettu ottelun erien lukumäärän keskiarvo, kun pelattiin 1000 peliä. Kuvaajaa voi verrata punaiseen E(5, x)-funktioon edellä.

ps

Löysin aiheeseen liittyvän mielenkiintoisen ratkaisutavan Frederik Mostellerin kirjasta Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. Siinä on kaksi ongelmaa, joiden ratkaisuissa tarkastellaan todennäköisyyksiä paras N:stä peleissä. Pitää lukea koko kirja, varsinkin ratkaisut osa huolellisesti.

lähteet

Voitto viidellä erävoitolla eli paras yhdeksästä -blogiartikkelini
https://mikkorahikka.blog/2026/09/07/voitto-viidella-eravoitolla/

Voitto kahden erolla -blogiartikkelini
https://mikkorahikka.blog/2026/08/03/voitto-kahden-erolla/

F. Mosteller. Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. Dover 1965. Tehtävät 44 ja 46.
https://mbapreponline.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/07/fifty_challenging_problems_in__2.pdf

Odotusarvo Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Odotusarvo