Jousiammuntaa – jänteen pituuden mallintamista GeoGebralla – osa 2

Edellisessä tarinassani mallinsin jousta janoina. Mallinnetaan nyt jousi ympyrän kaareksi ja ratkaistaan sen avulla jänteen pituus.

Sijoitin kuvan jousestani GeoGebran piirtoalueelle siten, että mitat senttimetreinä vastasivat piirtoalueen koordinaatteja. Sijoitin kolme pistettä (C, D ja E) kaarelle ja Ympyrä: kolme kehän pistettä -työkalulla sovitin ympyrän. Näyttäisi siltä, että 212,4 cm säteinen ympyrä kulkee suht’koht mukavasti jouseni kaaren läheisyydessä. Toki jo tuo kuva osoittaa, että ympyränkaarimalli ei välttämättä ole paras mahdollinen.

Merkitään alla olevassa kuvassa x:llä ympyrän sädettä, y:llä jänteen pituutta, s on kaaren pituus ja d jänneväli.

Kuva, joka sisältää kohteen objekti

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuva, joka sisältää kohteen teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Näin saatiin kaksi yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta, joten yhtälöillemme pitäisi löytyä ainakin numeerinen ratkaisu. Luodaan jousesta malli GeoGebra 5:llä appletti, jonka avulla jänteen pituus y saadaan laskettua, kun kaaren pituus s ja jänneväli d tunnetaan.

CASin avulla yhtälöitä ei saa ratkaistua suljetussa muodossa, niinpä tehdään syöttökentän avulla käyhtälöistä käyrät xy-tasolle ja etsitään ratkaisu käyrien leikkauspisteinä.

Luodaan ensin liu’ut s ja d. Kirjoitetaan syöttökenttään

s = 170
d = 15

Luodaan muuttujista liu’ut klikkaamalla Algebraikkunassa palleroihin. Liukujen ylä- ja alarajat saa muutettua klikkaamalla hiiren oikealla painikkeella liukuun ja valitsemalla Ominaisuudet.

Kirjoitetaan yhtälöt (1.) ja (2.) syöttökenttään

s / 2 = x asind(y / (2x)) 
(x - d)^2 + (y / 2)^2 = x^2

GeoGebra nimeää käyrien yhtälöt: eq1 ja eq2. Käyrien leikkauspiste saadaan komennolla

Leikkauspiste(eq1, eq2)

Tämä malli toimii paremmin kuin janamalli, mutta verrattuna omaan jouseeni, tämä tuottaa noin 1 cm liian pitkän jänteen pituuden.

Pitää pohtia, miten mallia voisi vielä kehittää. Miten jousen saa mallinnettua parabelin tai elllipsin avulla? Tarvittaneen integraalilaskentaa. Siinä pohdittavaa lukijalle.

Valmis jänteen pituus -appletti GeoGebra-materiaaleissa. https://www.geogebra.org/m/hcvykhsd

Jousiammuntaa – jänteen pituuden mallintamista GeoGebralla – osa 1

Viime syksynä menin Nurmijärven kansalaisopiston ”Perinnejousen valmistus” – kurssille. Kurssilla olen oppinut asiantuntevan opetuksen ansiosta paljon perinnejousista ja jousiammunnasta. Lisäksi olen saanut lähes valmiiksi ensimmäisen jouseni.

Oppilaskollegani Olavi pyysi minua määrittämään jousen jänteen pituuden, kun kaaren pituus nokeista (jänteen kiinnityspisteistä) ja jänneväli tunnetaan. Nyrkkisääntö on, että jänne on noin 5 cm lyhyempi kuin kaari. Minun jalavasta tehdyssä jousessani nokkien välinen etäisyys on 163 cm, kun jousessa ei ole jännettä. Jänteen pituus on 158 cm ja jänneväli on 15 cm.

janamalli

Niinpä päätin alkaa mallintamaan jousta. Yksinkertaisin malli jousesta taitaa olla sellainen, että ajatellaan jousen koostuvan kahdesta janasta, jotka ovat saranalla kiinni keskeltä. Merkitään b:llä kaaren pituutta, d:llä jänneväliä ja p:llä jänteen pituutta.

Pythagoraan lauseella:

Malli on helppo ratkaista, mutta se ei näytä toimivan kovin hyvin minun jousellani. Tätä kahteen janaan perustuvaa mallia voisi parantaa lisäämällä siihen lisää janoja. Kun jousen dynamiikkaa mallinnetaan, niin joissain malleissa kaari mallinnetaan kolmella janalla kuten esimerkiksi Dennyn vääntömallissa. Jätän tämän mallin tutkimisen lukijalle.




Lähde: Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Itä-Suomen yliopisto

Jätänkin jännevälin määrittämisen lukijalle, sillä annoin ongelman oppilailleni ja ratkomme sitä yhdessä lähipäivinä.

ongelma

Luo malli, jonka avulla voi määrittää jousen jänteen pituuden p, kun jousen kaaren pituus b ja jänneväli d tunnetaan. Kaaren pituus saa arvoja välillä 100 cm , … 200 cm ja jänneväli 10 cm, .., 20 cm.

Vihjeenä mallintajalle, että ensin kannattanee valita jokin mukava käyrä, esimerkiksi ympyrän kaari, paraabeli tai ellipsi ja alkaa rakentaa mallia käyttäen samaa käyrää.

Kuvassa on kuva omasta oma jousestani GeoGebrassa ja ympyrän kaari. Ongelman merkinnöillä jana CE = p, kaari CDE = b ja jana DF = d.

Lisää kuvia jousista löytyy vaikkapa lähteiden Ensimmäinen jousi -ohjeessa.

Kerron oman ratkaisuni lähipäivinä, kunhan ensin olemme ratkoneet ongelmaa yhdessä oppilaitteni kanssa.


lähteet

Räsänen S. Pitkäjousen ja vastakaarijousen fysiikka, Kandidaattitutkielma, Itä-Suomen yliopisto. https://luma.uef.fi/wp-content/uploads/sites/11/2018/03/Jousiammunnan-fysiikka.pdf

Ensimmäinen jousi -ohje Puujousi sivustolla, http://puujousi.fi/ensimmainenjousi.html