Edellisissä artikkeleissani olen käsitellyt 1,…, 3 nopan heittoa simuloiden ja laskemalla todennäköisyysjakaumat. Jotta saisin tämän trilogiani jotenkin päätettyä, niin tarkastelen tässä yleistä n:n nopan summan todennäköisyysjakaumaa tilastollisesti ja laskemalla tarkat arvot käyttämällä polynomin kertoimia.
Loin appletin GeoGebra 5:llä. Pääosin komennot kirjoitetaan syöttökenttään, todennäköisyysjakauman yhteydessä tarvitaan myös CAS:ia.
simulointi
Olkoon m noppien lukumäärä ja n heittojen määrä. Luodaan liu’t.
m = 10 n = 10000
Liu’un m asetuksissa Min: 1, Max: 10 ja Animaatioaskel: 1, liu’ulla n Min: 0, Max: 10000 ja Animaatioaskel: 100.
Noppien summat-lista saadaan käyttämällä Jono-komentoja
summat = Jono(Summa(Jono(Satunnaisluku(1, 6), mm, 1, m)), nn, 1, n)
Tässä sisin Jono-komento Jono(Satunnaisluku(1, 6), mm, 1, m) tuottaa m:n pituisen jonon satunnaislukuja 1, 2, …6. Summa laskee edellisen summan ja uloin Jono tuottaa summia n kappaletta. Sisäisiä muuttujia mm ja nn ei käytetä, tuossa kohdin pitää vain olla jokin muuttuja, jotta Jonon syntaksi on oikein. Teoriassa sisemmän Jono-komennon ja Summan olisi pitänyt pystyä korvaamaan yhdellä Summa-komennolla. En saanut sitä toimimaan. Joko GeoGebra tai minun aivoni toimivat tässä kohtaa epäloogisesti.
Tilaston jakauman pylväskaavio tulee yhdellä komennolla
Pylväskaavio(summat, 1, 1 / n)
Taas minua ihmetyttää, miten tämä onnistuu näin vähillä riveillä.
todennäköisyysjakauma
Lasketaan m:n nopan summan todennäköisyysjakauma. Yritän seuraavalla esimerkillä perustella miksi sopivasti valitun polynomin kertoimet kertovat kuinka monella eri tavalla jokin summa voidaan saada nopan heitossa.
Kuvitellaan, että meillä on kaksi kummallista noppaa, jossa toisessa on luvut 1, 2 ja 3 ja toisessa vain luvut 1 ja 2. Eiväthän nuo ihan tavallisia noppia ole, vaan jotain ihan toisesta maailmasta, mieti itse miten toteuttaisit tuollaiset nopat. Millaisia tuloksia ja miten paljon niitä voi tulla.
Summataulukko kertoo meille, että esimerkiksi kolmosen voi saada kahdella eri tavalla (2, 1) ja (1, 2).
Onko jotain algoritmia tuon frekvenssitaulukon tuottamiseksi. Mitäpä jos luodaan polynomi, jossa muuttuja korotetaan nopan arvon potensseihin. Kerrotaan polynomit keskenään. Mitä polynomin kertoimet kertovat.
Katso miten MathPapa poistaa sulkeet ja pohdi miksi potenssit kertovat summan ja kertoimet niiden lukumäärän.
Edellisessä sulkeiden poistamisessa toiseksi viimeiellä rivillä on itse asiassa sama informaatio kuin 2*3 summataulukossa.
Jos pohditaan vaikkapa kuinka monella eri tavalla näiden noppien heitossa summaksi tulee kolme, niin se vastaa polynomin kertolaskussa tilannetta jossa x kerrotaan x^2 tai x^2 kerrotaan x:llä. Eli sam tilanne kuin summataulukon (1, 2) ja (2, 1). Sievennetyssä polynomissa kolmannen asteen kertoimeksi tulee 2. Se kertoo meille kuinka monella tavalla summaksi tulee kaksi.
Tutkitaan kahden perinteisen nopan heittoa, kolmen nopan heittoa jne. Yhtä noppaa vastaa polynomi noppa = a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6. Silloin kahden nopan summat saadaan noppa-polynomin potenssien kertoimina.
Tässä polynomin kertoimet kertovat esimerkiksi, että kahden nopan heiton 6*6 summataulukossa ysejä on neljä kappaletta. Alla oleva kuva on artikkelin ”Nopat GeoGebralla – kaksi noppaa” esimerkkitiedostosta.
Tuotetaan yleinen jakauma käyttämällä polynomin kertoimia. Määritellään ensin CAS:iin noppa-polynomi. Tämä vastaa yhtä noppaa.
noppa:=a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6 -> noppa:=a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a
Tässä vaiheessa kannattaa laittaa m ja n-liukujen arvot sopivan pieniksi.
Poistetaan sulkeet noppa^m polynomista CASissa, tässä m:n arvo on kolme.
pol:=PoistaSulkeet(noppa^m) -> pol:=a^18 + 3 a^17 + 6 a^16 + 10 a^15 + 15 a^14 + 21 a^13 + 25 a^12 + 27 a^11 + 27 a^10 + 25 a^9 + 21 a^8 + 15 a^7 + 10 a^6 + 6 a^5 + 3 a^4 + a^3
Polynomin kertoimet saadaan Kertoimet-komennolla. Ensimmäinen on tässä 18-asteen termin kerroin ja viimeinen nolla on nollannen asteen termin kerroin.
ker:=Kertoimet(pol)
-> ker:={1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1, 0, 0, 0}
Käännetään ker-lista toisinpäin Käännä-komennolla Syöttökentässä.
kert = Käännä(ker)
Luodaan histogrammille reunat ja piirretään todennäköisyysjakauma.
reunat = Jono(-0.5, 6m + 0.5, 1) hist = Histogrammi(reunat, kert / 6^m)
Esimerkkitiedosto löytyy GeoGebra-Materiaaleista https://www.geogebra.org/m/eqsebrjq
Nyt taidan lopettaa noppien tutkiskelun ainakin joksikin aikaa. Nytpä tästä noparartikklelisarjasta tulikin tetralogia. Vai onko tämä kvadrilogia?
Liitteet
Hyvä esitys miksi edellä esitetty polynomien kerroinmenetelmä toimii ”world of math and physics” -blogissa. https://www.lucamoroni.it/the-dice-roll-sum-problem/
Multinomiaali kertoimista hieman haastavampi blogiartikkeli ”A Blog on Probability and Statistics”-blogissa. https://probabilityandstats.wordpress.com/tag/multinomial-coefficients/
Aiemmat aiheeseen liittyvät blogiartikkelini.
Kolme noppaa https://mikonfysiikka.wordpress.com/2020/04/26/nopat-geogebralla-kolme-noppaa/
kaksi noppaa, https://mikonfysiikka.wordpress.com/2020/04/24/nopat-geogebralla-kaksi-noppaa/
yksi noppa, https://mikonfysiikka.wordpress.com/2020/04/23/nopat-geogebralla-yksi-noppa/
kolme noppaa ja zip-komento, https://mikonfysiikka.wordpress.com/2019/08/27/kolme-noppaa-ja-zip-komento/
Youtube-video viiden nopan heitosta https://www.youtube.com/watch?v=oUEbI5_vy-4
Mikon fysiikka ja matikka 