[edit. 19.3.2024 lisäsin virkkeen ingerssin jälkeen, jossa kerron, että algoritmi ei tuota kaikkia Pythagoraan kolmikkoja.]
Viime syksyn lyhyen matikan ylioppilaskokeen tehtävässä 4 tutkittiin Pythagoraan kolmikoita. Kun tutkiskelin tehtävää, niin mieleeni nousi kysymys, miltä kolmikot näyttävät 3D avaruudessa. Tutkailen tässä eri tapoja tuottaa avaruuden pisteitä ja pintoja GeoGebran komennoilla.
Tässä on huomattava, että tehtävän esittämä algoritmi ei tuota kaikkia Pythagoraan kolmikkoja. Esimerkiksi kolmikkoa (9, 12, 15) ei saa syntymään tuolla algoritmilla. Se on muotoa (3*3, 3*4, 3*5).
Ennen kuin katsot kuviani, niin kuvittele mielessäsi miten Pythogoraan kolmikot asettuvat avaruuteen.
Ylioppilastehtävässä kerrottiin, että kolmikot voidaan muodostaa seuraavasti. Olkoot m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, joille m > n. Tällöin luvut a = m2 – n2, b = 2mn ja c = m2 + n2 muodostavat Pythagoraan kolmikon.
Piirretään ensin nuo pisteet GeoGebralla siten, että luku a on x-akselilla, luku b y-akselilla ja c z-akselilla. Käytetään n:llä ja m:llä arvoja {1, 2, …, 10}.
Tässä tarvitaan sisäkkäisiä Jono-komentoja. Kirjoitetaan syöttökenttään
m1 = Jono(Jono((m² - n², 2m n, m² + n²), n, 1, 10, 1), m, 1, 10, 1)
In English
m1 = Sequence(Sequence((m² - n², 2m n, m² + n²), n, 1, 10, 1), m, 1, 10, 1)
3D-piirtoalueelle syntyy tällaista.
Jos tuohon haluaa piirtää pinnan, niin Pinta-komento auttaa. Laajennan tässä m:n ja n:n arvot välille [-1, 10]. Kirjoita Syöttökenttään
a = Pinta(m² - n², 2m n, m² + n², m, -10, 10, n, -10, 10)
Ja sama englanniksi
a = Surface(m² - n², 2m n, m² + n², m, -10, 10, n, -10, 10)
Tässä vaiheessa tajusin, että kyseessähän on Pythagoraan lause, niinpä voin voin kuvata pisteet a ja b funktiolla, joka on muotoa z = f(x, y). Kirjoitetaan syöttökenttään
f(x, y) = sqrt(x² + y²)
Tuohan näyttää ihan kartiolta. Senhän pystyy piirtämään GeoGebran Kartio-komennolla. Komento Kartio((0,0, 200), (0, 0, 0), r) piirtää kartion, jonka pohjan keskipiste on (0, 0, 200), kärki on origossa ja pohjaympyrän säde on r. Jätän lukijan pohdittavaksi mikä luku tulee r:n paikalle.
Ai niin, olisihan tuon kartiopinnan saanut kirjoittamalla syöttökenttään
x2 + y2 = z2
Lähde
Pythagoraan kolmikot avaruudessa GeoGebra-materiaali
https://www.geogebra.org/m/ym7f8thc
Syksyn 23 lyhyen matikan ylioppilaskoe Abitreeneissä
https://yle.fi/plus/abitreenit/2023/syksy/matematiikka_lyhyt/index.html
Mikon fysiikka ja matikka 