Galilein kalteva taso, jatko-osa

Edellisessä artikkelissa kerroin miten tuottaa GeoGebralla työkirja, joka havainnollistaa Galilein ”Keskusteluja kahdesta tieteestä” lauseen: ”Jos pystytasossa olevan ympyrän ylimmästa tai alimmasta pisteestä luodaan kalteva taso siten, että toinen pää on ympyrän kehällä, niin kaltevaa tasoa kulkevilla kappaleilla matkaan kuluva aika on sama”. Englanninkielisessä versiossa ”If from the highest or lowest point in a vertical circle there be drawn any inclined planes meeting the circumference the times of descent along these chords are each equal to the other.”

Artikkelissa tutkittiin tapausta, joka alkaa ylhäältä. Tuohan tarkoittaa sitä, että jos ylhäältä päästetään samanaikaisesti kappaleita liukumaan eri kaltevia tasoja, niin kappaleet liikkuvat samalla ympyrän kehällä. Galilein kuvassa ajat janoilla janoilla AB ja AC ovat yhtäsuuret.

Mitä tapahtuu, jos laitetaan kappaleita ympyrän kehälle ja päästetään ne liukumaan samanaikaisesti sellaisia kaltevia tasoja, jotka kulkevat ympyrän alimman pisteen kautta ja annettaan niiden jatkaa matkaansa, eli kappaleet eivät törmää toisiinsa alimmassa pisteessä.

Ovatko kappaleet samoilla ympyränkehillä ennen alinta pistettä ja mitä tapahtuu alimman pisteen jälkeen?

Tutkitaan asiaa GeoGebralla. Edellisessä artikkelissa käytin napakoordinaatteja. Käytetään nyt suorakulmaista koordinaatistoa. Jotenkin se on minulle helpompaa vaikka lausekkeet ovat rumemman näköisiä.

Luodaan ensin lähtöpaikat. Harjoituksen, testailun ja myös ymmärryksen vuoksi luodaan piste A, se on 1 säteisen ympyrän kehällä, siten että suuntakulma origosta on α°.  Luodaan aluksi liuku α, ja annetaan sen arvojen muuttua välillä 0°≤ α ≤ 180°. Kirjoita syöttökenttään

α = 180

Klikkaa Algebra-ikkunassa α:n vasemmalla puolella olevaa pompulaa. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella liukua ja muuta sen ominaisuudet Min: 0, Max: 180 Animaatioaskel: 1. Kirjoita syöttökenttään

A = (2 sin(α°) cos(α°), 2 sin²(α°))

Matematiikkaa opiskelleet ymmärtävät, miksi A-piste on ympyrän kaarella, jonka keskipiste on pisteessä (0, 1). Kun liu’utat α-liukua, niin havaitset että A todella on ympyrän kaarella.

Fysiikkaa hallitsevat henkilöt ymmärtävät, että liukuvan kappaleen kiihtyvyys tässä tapauksessa suorakulmaisissa koordinaateissa on (g sin(α°) cos(α°) , – g sin²(α°)), missä g on putoamiskiihtyvyys. Koska vakiokiihtyvyydellä levosta lähtevän kappaleen paikka on suoraan verrannollinen kiihtyvyyteen ja ajan neliöön, niin jätän turhat vakiokertoimet pois. Näin ollen paikan koordinaatit ajan funktiona ovat muotoa (2 sin(α°) cos(α°) – sin(α°) cos(α°) t², 2 sin²(α°) – sin²(α°) t²). Luodaan aikaa kuvaava liuku. Kirjoita syöttökenttään

t = 5

Klikkaa Algebra-ikkunassa t:n vasemmalla puolella olevaa pompulaa. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella liukua ja muuta sen ominaisuudet Min: 0, Max: 5 Animaatioaskel: 0.1.

Muokataan A pistettä. Kaksoisklikkaa A-pistettä Algebra-ikkunassa ja Määrittele uudelleen -ikkunassa pisteen A arvoksi

(2sin(α°) cos(α°) - sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² - sin(α°)² t²)

Kun liu’uta t-liukua, niin havaitset että kappale (piste) lähtee ympyrän kaarelta ja kulkee origon kautta. Jos klikkaat pistettä A Algebraikkunassa ja laitat jäljen käyttöön, havaitset että kyseessä on kiihtyvä liike.

Luodaan useita pisteitä käyttämällä Jono-komentoa. Kirjoita syöttökenttään

Jono((2sin(α°) cos(α°) - sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² - sin(α°)² t²), α, 0, 180, 10)

Komento luo listan L₁, jossa on pisteitä suorakulmaisissa koordinaateissa (2sin(α°) cos(α°) – sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² – sin(α°)² t²) siten, että kulma muuttuu 10 asteen välein. Huomaa että tässä kulma α on jono-komennon sisäinen muuttuja ja se ei riipu algebraikkunan α-muuttujasta.

Piilota piste A Algebra-ikkunan pompulasta. Hävitä vanhat jäljet liikuttamalla Piirtoalueen koordinaatistoa tai Näytä-valikon Päivitä näkymät-komennolla. Tee animaatio klikkaamalla hiiren oikealla painikkeella Algebraikkunan t-muuttujaa ja laita jälki käyttöön, jos siltä tuntuu.

Myös alkuperäisen ympyrän alimman pisteen jälkeen kappaleet liikkuvat samalla ympyrän kaarella. Aikamakeeta. Todista, se on sinun tehtäväsi, minä lähden kalaan.

Katso työkirjani GeoGebra-materiaaleissa.